Самостоятельная работа 28 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. Для точек на единичной окружности используем определения:

   $$\alpha=\arcsin\frac34,\quad \sin\alpha=\frac34,\quad \alpha\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$\beta=\arcsin\left(-\frac34\right),\quad \sin\beta=-\frac34,\quad \beta\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$\varphi=\arccos\left(-\frac34\right),\quad \cos\varphi=-\frac34,\quad \varphi\in[0;\pi]$$

   $$\gamma=\arccos\frac34,\quad \cos\gamma=\frac34,\quad \gamma\in[0;\pi]$$

2. Вычислим значения:

   $$\arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4},\qquad \arcsin(-1)=-\frac{\pi}{2}$$

   $$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3},\qquad \arccos\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{5\pi}{6}$$

3. Упростим выражения:

   $$\sin\left(\arcsin\frac47\right)=\frac47$$

   $$\cos\left(\arccos\frac59\right)=\frac59$$

   $$\sin\left(\arccos\frac{12}{13}\right)=\sqrt{1-\cos^2\left(\arccos\frac{12}{13}\right)}=\sqrt{1-\left(\frac{12}{13}\right)^2}=\frac{5}{13}$$

   $$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right)=\sqrt{1-\sin^2\left(\arcsin\left(-\frac{5}{13}\right)\right)}=\sqrt{1-\left(-\frac{5}{13}\right)^2}=\frac{12}{13}$$

4. Используем главные значения обратных тригонометрических функций:

   $$\arcsin\left(\sin\frac{3\pi}{7}\right)=\frac{3\pi}{7},\qquad -\frac{\pi}{2}<\frac{3\pi}{7}<\frac{\pi}{2}$$

   $$\arccos(\sin 0{,}9\pi)=\arccos\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-0{,}9\pi\right)\right)=\arccos(\cos 0{,}4\pi)=0{,}4\pi$$

   $$\arccos(\cos 5)=2\pi-5$$

Ответ

1) $$\arcsin\frac34,\ \arcsin\left(-\frac34\right),\ \arccos\left(-\frac34\right),\ \arccos\frac34$$;
2) а) $$\frac{\pi}{4}$$; б) $$-\frac{\pi}{2}$$; в) $$\frac{\pi}{3}$$; г) $$\frac{5\pi}{6}$$;
3) а) $$\frac47$$; б) $$\frac59$$; в) $$\frac{5}{13}$$; г) $$\frac{12}{13}$$;
4) а) $$\frac{3\pi}{7}$$; б) $$0{,}4\pi$$; в) $$2\pi-5$$.