Самостоятельная работа 21 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) (1/5)^x=125; б) 6^(3x-4)=36;
в) log(7; x)=-2; г) log(1/5; 4x-1)=-1.
2. а) 4^x-5·2^(2x-1)=-6; б) log(2; x)-log(4; x)+log(8; x)=5;
в) log(3; 1+log(1/3; x))=1.
3. а) 25^x+4·5^x=5; б) 2^(10x-5)-9·2^(5x-3)+4=0;
в) 2^(3x-5)-3/(2^(3x-5)+1)=1; г) log(3; x)-2log(x; 27)=-1;
д) log(5; 4x-3)-4/(log(5; 4x-3)+1)+1=0.
1.
а) $$\left(\frac{1}{5}\right)^x=125$$
$$5^{-x}=5^3$$
$$-x=3,\quad x=-3$$
б) $$6^{3x-4}=36$$
$$6^{3x-4}=6^2$$
$$3x-4=2,\quad 3x=6,\quad x=2$$
в) $$\log_7 x=-2$$
$$x=7^{-2}=\frac{1}{49}$$
г) $$\log_{\frac15}(4x-1)=-1$$
$$4x-1=\left(\frac15\right)^{-1}=5$$
$$4x=6,\quad x=\frac32$$
2.
а) $$4^x-5\cdot 2^{2x-1}=-6$$
$$2^{2x}-\frac52\cdot 2^{2x}=-6$$
$$-\frac32\cdot 2^{2x}=-6,\quad 2^{2x}=4$$
$$2x=2,\quad x=1$$
б) $$\log_2 x-\log_4 x+\log_8 x=5$$
$$\log_4 x=\frac12\log_2 x,\quad \log_8 x=\frac13\log_2 x$$
$$\log_2 x-\frac12\log_2 x+\frac13\log_2 x=5$$
$$\frac56\log_2 x=5,\quad \log_2 x=6,\quad x=64$$
в) $$\log_3\!\left(1+\log_{\frac13} x\right)=1$$
$$1+\log_{\frac13} x=3$$
$$\log_{\frac13} x=2,\quad x=\left(\frac13\right)^2=\frac19$$
3.
а) $$25^x+4\cdot 5^x=5$$
Положим $$y=5^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$y^2+4y=5$$
$$y^2+4y-5=0$$
$$D=4^2+4\cdot 5=36$$
$$y_1=\frac{-4-6}{2}=-5,\quad y_2=\frac{-4+6}{2}=1$$
Так как $$y>0,$$ то $$y=1.$$ Следовательно,
$$5^x=1,\quad x=0$$
б) $$2^{10x-5}-9\cdot 2^{5x-3}+4=0$$
Положим $$y=2^{5x-3},\quad y>0.$$ Тогда
$$2\cdot 2^{10x-6}-9\cdot 2^{5x-3}+4=0$$
$$2y^2-9y+4=0$$
$$D=9^2-4\cdot 2\cdot 4=49$$
$$y_1=\frac{9-7}{4}=\frac12,\quad y_2=\frac{9+7}{4}=4$$
$$2^{5x-3}=\frac12 \Rightarrow 5x-3=-1 \Rightarrow x=\frac25$$
$$2^{5x-3}=4 \Rightarrow 5x-3=2 \Rightarrow x=1$$
в) $$2^{3x-5}-\frac{3}{2^{3x-5}+1}=1$$
Положим $$y=2^{3x-5},\quad y>0,\quad y\ne -1.$$ Тогда
$$y-\frac{3}{y+1}=1$$
$$y(y+1)-3=y+1$$
$$y^2=4,\quad y=\pm 2$$
С учётом $$y>0$$ получаем $$y=2.$$ Тогда
$$2^{3x-5}=2,\quad 3x-5=1,\quad x=2$$
г) $$\log_3 x-2\log_x 27=-1$$
Положим $$y=\log_3 x,\quad y\ne 0.$$ Тогда
$$\log_x 27=\frac{1}{\log_{27} x}=\frac{6}{\log_3 x}=\frac{6}{y}$$
Получаем
$$y-2\cdot \frac{6}{y}=-1$$
$$y^2+ y-12=0$$
$$D=1+48=49$$
$$y_1=\frac{-1-7}{2}=-4,\quad y_2=\frac{-1+7}{2}=3$$
$$x=3^{-4}=\frac{1}{81},\quad x=3^3=27$$
д) $$\log_5(4x-3)-\frac{4}{\log_5(4x-3)+1}+1=0$$
Положим $$y=\log_5(4x-3),\quad y\ne -1.$$ Тогда
$$y-\frac{4}{y+1}+1=0$$
$$y(y+1)-4+(y+1)=0$$
$$y^2+2y-3=0$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16$$
$$y_1=\frac{-2-4}{2}=-3,\quad y_2=\frac{-2+4}{2}=1$$
$$4x-3=5^{-3}=\frac{1}{125}\Rightarrow x=\frac{94}{500}=\frac{47}{250}$$
$$4x-3=5^1=5\Rightarrow x=2$$
Ответ
1) а) $$-3$$; б) $$2$$; в) $$\frac{1}{49}$$; г) $$\frac32$$.
2) а) $$1$$; б) $$64$$; в) $$\frac19$$.
3) а) $$0$$; б) $$\frac25,\ 1$$; в) $$2$$; г) $$\frac{1}{81},\ 27$$; д) $$\frac{47}{250},\ 2$$.
