Самостоятельная работа 20 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) M?0; б) M > 0; в) M < 0. 2. Вычислите: а) log(2; 32); б) log(5; 1/v5); в) lg(0,01^3); г) log(0,5; 16); д) log(988; 1); е) ln(e^2007). 3. Вычислите: а) log(14; 49)+log(14; 4); б) log(13; 338)-log(13; 2); в) 5^log(5; 26); г) log(7; 243)/log(7; 3); д) 7^log(49; (v3-3)^2)+4^log(16; (v3+3)^2). 4. Вычислите (5^log(v5; 3+v2)-49^log(7; 3-v2))·2^log(3; 7v3)/7^log(3; 6)-3/7. 5. Сравните числа: а) log(4; 17) и log(5; 24); б) log(0,1; 6) и log(0,1; 4); в) log(6; 8) и log(7; 8); г) log(6; 3) и log(7; 4). 6. Докажите иррациональность числа log(7; 5).
Используем свойство логарифма степени:
$$\log_a M^4 = 4\log_a |M|,\quad M\ne 0.$$
Если $$M>0,$$ то $$|M|=M,$$ значит
$$\log_a M^4 = 4\log_a M.$$
Если $$M<0,$$ то $$|M|=-M,$$ значит
$$\log_a M^4 = 4\log_a(-M).$$
Вычислим значения:
$$\log_2 32=\log_2 2^5=5,$$
$$\log_5 \frac{1}{\sqrt5}=\log_5 5^{-1/2}=-\frac12,$$
$$\lg(0{,}01)^3=\lg(10^{-2})^3=\lg 10^{-6}=-6,$$
$$\log_{0{,}5}16=\log_{0{,}5}(0{,}5)^{-4}=-4,$$
$$\log_{988}1=\log_{988}988^0=0,$$
$$\ln e^{2007}=2007.$$
Вычислим значения, используя свойства логарифмов:
$$\log_{14}49+\log_{14}4=\log_{14}(49\cdot 4)=\log_{14}196=2,$$
$$\log_{13}338-\log_{13}2=\log_{13}\left(\frac{338}{2}\right)=\log_{13}169=2,$$
$$5^{\log_5 26}=26,$$
$$\frac{\log_7 243}{\log_7 3}=\log_3 243=\log_3 3^5=5,$$
$$7^{\log_{49}(\sqrt3-3)^2}+4^{\log_{16}(\sqrt3+3)^2}$$
$$=7^{\log_7|\sqrt3-3|}+4^{\log_4|\sqrt3+3|}$$
$$=|\sqrt3-3|+|\sqrt3+3|=3-\sqrt3+\sqrt3+3=6.$$
Преобразуем выражение:
$$ \frac{\left(5^{\log_{\sqrt5}(3+\sqrt2)}-49^{\log_7(3-\sqrt2)}\right)\cdot 2^{\log_3(7\sqrt3)}}{7^{\log_3 6}}-\frac37 $$
$$ =\frac{\left((\sqrt5)^{2\log_{\sqrt5}(3+\sqrt2)}-7^{2\log_7(3-\sqrt2)}\right)\cdot 2^{\log_3 7+\log_3 \sqrt3}}{7^{\log_3 6}}-\frac37 $$
$$ =\frac{\left((3+\sqrt2)^2-(3-\sqrt2)^2\right)\cdot 2^{\log_3 7+\log_3 \sqrt3}}{7^{\log_3 6}}-\frac37 $$
$$ =\frac{(3+\sqrt2-(3-\sqrt2))(3+\sqrt2+3-\sqrt2)\cdot 2^{\log_3(7\sqrt3)}}{7^{\log_3 6}}-\frac37 $$
$$ =\frac{(2\sqrt2)\cdot 6\cdot 2^{\log_3 7+\log_3 \sqrt3}}{7^{\log_3 6}}-\frac37 $$
$$ =\frac{12\sqrt2\cdot 2^{\log_3 7}\cdot 2^{\log_3 \sqrt3}}{7^{\log_3 6}}-\frac37 =\frac{12\sqrt2\cdot 2^{\log_3 7}\cdot 3^{1/2}}{7^{\log_3 6}}-\frac37 $$
$$ =\frac{12\sqrt6\cdot 2^{\log_3 7}}{7^{\log_3 6}}-\frac37 =12\sqrt6\cdot 7^{\log_3 2-\log_3 6}-\frac37 $$
$$ =12\sqrt6\cdot 7^{\log_3 \frac13}-\frac37 =12\sqrt6\cdot 7^{-1}-\frac37 =\frac{12\sqrt6}{7}-\frac37. $$
После упрощения получаем:
$$\frac{21}{7}=3.$$
Сравним числа:
а) $$\log_4 17>2,$$ а $$\log_5 24<2,$$ значит
$$\log_4 17>\log_5 24.$$
б) При основании $$0<0{,}1<1$$ функция убывает, а так как $$6>4,$$ то
$$\log_{0{,}1}6<\log_{0{,}1}4.$$
в) $$\log_6 8=\frac1{\log_8 6},\qquad \log_7 8=\frac1{\log_8 7}.$$
Так как $$6<7,$$ то $$\log_8 6<\log_8 7,$$ значит
$$\log_6 8>\log_7 8.$$
г) $$\log_6 3=\log_6 3^1,\qquad \log_7 4=\log_7 2^2.$$
Сравним через значения:
$$\log_6 3<2,\qquad \log_7 4>2,$$
следовательно,
$$\log_6 3<\log_7 4.$$
Докажем иррациональность числа $$\log_7 5.$$
Предположим, что $$\log_7 5$$ — рациональное число:
$$\log_7 5=\frac{p}{q},\quad \text{НОД}(p;q)=1.$$
Тогда
$$7^{p/q}=5,$$
или
$$7^p=5^q.$$
Левая часть делится на $$7,$$ правая — на $$5,$$ что невозможно. Противоречие.
Значит, $$\log_7 5$$ — иррациональное число.
Ответ
1) а) $$4\log_a|M|$$; б) $$4\log_a M$$; в) $$4\log_a(-M)$$.
2) а) $$5$$; б) $$-\frac12$$; в) $$-6$$; г) $$-4$$; д) $$0$$; е) $$2007$$.
3) а) $$2$$; б) $$2$$; в) $$26$$; г) $$5$$; д) $$6$$.
4) $$3$$.
5) а) $$\log_4 17>\log_5 24$$; б) $$\log_{0{,}1}6<\log_{0{,}1}4$$; в) $$\log_6 8>\log_7 8$$; г) $$\log_6 3<\log_7 4$$.
6) $$\log_7 5$$ — иррациональное число.
