Контрольная работа 2 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) (5^8)^(1/8)=-5; б) (6^8)^(1/8)=6;
в) ((-7)^8)^(1/8)=-7; г) ((-8)^8)^(1/8)=8?
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) 2/9^(1/3); б) 7^(1/3)/(7^(1/3)-1); в) 5/(36^(1/3)-6^(1/3)+1).
3. Вычислите:
а) (2001^2-2·2001·401+401^2)^(1/4);
б) (1799^3+3·1799^2·203+3·1799·203^2+203^3)^(1/3).
4. Упростите выражение (vx-vy)(x^(1/6)+y^(1/6))(x^(1/3)-(xy)^(1/6)+y^(1/3)).
5*. Вычислите 48^(1/3)-3^(1/3)·(4^(1/3))^2+1/(36^(1/3)+30^(1/3)+25^(1/3))+25^(1/6)-36^(1/6).
6*. Найдите значение выражения (xv(x(x^(1/4))))^(1/3) при x=(27^8)^(1/13).
7*. Моторная лодка проходит расстояние между пристанями А и В по течению реки за 25 мин, а против течения за 50 мин. Во сколько раз собственная скорость моторной лодки больше скорости течения реки?

1. Используем свойство: $$\left(a^n\right)^{\frac1n}=|a|$$ при чётном $n$.

   а) $$\left(5^8\right)^{\frac18}=5,$$ значит равенство неверно;
   б) $$\left(6^8\right)^{\frac18}=6,$$ значит верно;
   в) $$\left((-7)^8\right)^{\frac18}=7,$$ значит неверно;
   г) $$\left((-8)^8\right)^{\frac18}=8,$$ значит верно.

2. Избавимся от иррациональности в знаменателе:

   а) $$\frac{2}{\sqrt[3]{9}}=\frac{2\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2\sqrt[3]{3}}{3};$$

   б) $$\frac{\sqrt[3]{7}}{\sqrt[3]{7}-1}\cdot\frac{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}+1}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}+1} =\frac{7+\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}}{6};$$

   в) $$\frac{5}{\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{6}+1}\cdot\frac{\sqrt[3]{6}+1}{\sqrt[3]{6}+1} =\frac{5(\sqrt[3]{6}+1)}{7}.$$

3. а) $$\sqrt[4]{2001^2-2\cdot2001\cdot401+401^2} =\sqrt[4]{(2001-401)^2} =\sqrt[4]{1600^2} =40;$$

   б) $$\sqrt[3]{1799^3+3\cdot1799^2\cdot203+3\cdot1799\cdot203^2+203^3} =\sqrt[3]{(1799+203)^3} =2002.$$

4. $$\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{xy}+\sqrt[3]{y}\right).$$

   Положим $$a=\sqrt[6]{x},\quad b=\sqrt[6]{y}.$$ Тогда выражение равно

   $$(a^3-b^3)(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

   Так как $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),$$ получаем

   $$(a-b)(a+b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2).$$

   Но

   $$(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=(a^2+b^2)^2-a^2b^2=a^4+a^2b^2+b^4,$$

   и после подстановки исходное выражение упрощается до

   $$\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}\right)\left(\sqrt[3]{x}-\sqrt[6]{xy}+\sqrt[3]{y}\right)=x-y.$$

5. $$\sqrt[3]{48}-\sqrt[3]{3}\cdot\left(\sqrt[3]{4}\right)^2+\frac{1}{\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{30}+\sqrt[3]{25}}+\sqrt[6]{25}-\sqrt[6]{36}.$$

   $$\sqrt[3]{48}=2\sqrt[3]{6},\qquad \sqrt[3]{3}\cdot\left(\sqrt[3]{4}\right)^2=\sqrt[3]{48},$$

   $$\frac{1}{\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{30}+\sqrt[3]{25}} =\frac{\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{5}}{6-5} =\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{5},$$

   $$\sqrt[6]{25}=\sqrt[3]{5},\qquad \sqrt[6]{36}=\sqrt[3]{6}.$$

   Тогда

   $$\sqrt[3]{48}-\sqrt[3]{3}\cdot\left(\sqrt[3]{4}\right)^2+\frac{1}{\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{30}+\sqrt[3]{25}}+\sqrt[6]{25}-\sqrt[6]{36}=0.$$

6. $$\sqrt[3]{x\sqrt{x\sqrt[4]{x}}}.$$

   Преобразуем степень:

   $$x\sqrt{x\sqrt[4]{x}}=x\sqrt{x\cdot x^{1/4}}=x\sqrt{x^{5/4}}=x\cdot x^{5/8}=x^{13/8}.$$

   Тогда

   $$\sqrt[3]{x\sqrt{x\sqrt[4]{x}}}=\sqrt[3]{x^{13/8}}=x^{13/24}.$$

   При $$x=\left(27^8\right)^{1/13}$$ имеем

   $$x^{13/24}=\left(\left(27^8\right)^{1/13}\right)^{13/24}=27^{8/24}=27^{1/3}=3.$$

7. Пусть $$x$$ — собственная скорость лодки, $$y$$ — скорость течения.

   Тогда по течению скорость равна $$x+y$$, а против течения — $$x-y$$.

   Так как расстояние одно и то же, получаем:
   $$25(x+y)=50(x-y).$$

   $$25x+25y=50x-50y,$$

   $$75y=25x,$$

   $$x=3y.$$

   Значит, собственная скорость лодки в 3 раза больше скорости течения.

Ответ

1) а) нет; б) да; в) нет; г) да.
2) а) $$\frac{2\sqrt[3]{3}}{3}$$; б) $$\frac{7+\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}}{6}$$; в) $$\frac{5(\sqrt[3]{6}+1)}{7}$$.
3) а) $$40$$; б) $$2002$$.
4) $$x-y$$.
5) $$0$$.
6) $$3$$.
7) в 3 раза.