Самостоятельная работа 10 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. Разложите по формуле бинома Ньютона: а) $$(x+1)^6$$; б) $$(x-3)^5$$.
2. Вычислите коэффициент при $$a^6$$ в разложении выражения $$\left(a+\frac{1}{a}\right)^{12}$$ по формуле бинома Ньютона.
3. Вычислите сумму коэффициентов $$C(11;0)+C(11;1)+C(11;2)+C(11;3)+\ldots+C(11;11)$$.
4. Сколько рациональных членов содержит разложение $$\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)^{1002}$$ по формуле бинома Ньютона?

1. По формуле бинома Ньютона:

   $$(x+1)^6=\sum_{k=0}^{6} C_6^k x^{6-k}\cdot 1^k$$

   $$(x+1)^6=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1$$

   $$(x-3)^5=\sum_{k=0}^{5} C_5^k x^{5-k}(-3)^k$$

   $$(x-3)^5=x^5-15x^4+90x^3-270x^2+405x-243$$

2. В разложении

   $$\left(a+\frac{1}{a}\right)^{12}$$

   общий член имеет вид

   $$C_{12}^k a^{12-k}\left(\frac{1}{a}\right)^k=C_{12}^k a^{12-2k}$$

   Найдём, при каком $$k$$ получается степень $$a^6$$:

   $$12-2k=6$$
   $$2k=6$$
   $$k=3$$

   Тогда искомый коэффициент равен

   $$C_{12}^3=\frac{12!}{3!\,9!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2}=220$$

3. Сумма коэффициентов бинома равна значению выражения при $$x=1$$:

   $$C_{11}^0+C_{11}^1+C_{11}^2+\dots+C_{11}^{11}=(1+1)^{11}=2^{11}=2048$$

4. Рассмотрим разложение

   $$\left(\sqrt{7}+\sqrt{2}\right)^{1002}$$

   Общий член:

   $$C_{1002}^k(\sqrt{7})^{1002-k}(\sqrt{2})^k$$

   Чтобы член был рациональным, показатели корней должны быть чётными. Так как $$1002$$ — чётное число, нужно, чтобы $$k$$ было чётным. Тогда число таких членов равно

   $$\frac{1002}{2}+1=502$$

Ответ

1) $$(x+1)^6=x^6+6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1,$$
$$(x-3)^5=x^5-15x^4+90x^3-270x^2+405x-243;$$
2) $$220;$$
3) $$2048;$$
4) $$502.$$