Самостоятельная работа 19 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
б) Чему равен (n > +?)lim(x_n)?
2. Пользуясь свойствами пределов, вычислите предел:
а) (n > +?)lim((3n+7)/(4n-5)); б) (n > +?)lim((-2n^3+n-10)/(n^2+12n+20));
в) (n > +?)lim((3n-11)/(2n+3)+(7n+1)/(2n-3)); г) (n > +?)lim((n^2+5n-13)/(-2n^3+7n+1));
д) (n > +?)lim(v(n^2+11)-v(n^2+2n)); е) (n > +?)lim(1+1/(2n))^n.
3. а) Докажите, что переменная x_n=2/(3n+1) является бесконечно малой, пользуясь определением бесконечно малой (на языке «?-N»).
б) Чему равен (n > +?)lim(x_n)?
Представим дробь в виде суммы числа и бесконечно малой:
$$x_n=\frac{12n-5}{3n+1}=4-\frac{9}{3n+1}.$$
Так как $$\frac{9}{3n+1}\to 0$$ при $$n\to+\infty,$$ то
$$\lim_{n\to+\infty}x_n=4.$$
Вычислим пределы:
а) $$\lim_{n\to+\infty}\frac{3n+7}{4n-5}=\lim_{n\to+\infty}\frac{3+\frac{7}{n}}{4-\frac{5}{n}}=\frac34.$$
б) $$\lim_{n\to+\infty}\frac{-2n^3+n-10}{n^2+12n+20}=\lim_{n\to+\infty}\frac{-2+\frac{1}{n^2}-\frac{10}{n^3}}{\frac{1}{n}+\frac{12}{n^2}+\frac{20}{n^3}}=-\infty.$$
в) $$\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3n-11}{2n+3}+\frac{7n+1}{2n-3}\right)=\frac32+\frac72=5.$$
г) $$\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+5n-13}{-2n^3+7n+1}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}-\frac{13}{n^3}}{-2+\frac{7}{n^2}+\frac{1}{n^3}}=0.$$
д) $$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+11}-\sqrt{n^2+2n}\right)=\lim_{n\to+\infty}\frac{11-2n}{\sqrt{n^2+11}+\sqrt{n^2+2n}}=-1.$$
е) $$\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n\cdot \frac12}=e^{1/2}=\sqrt{e}.$$
Докажем, что $$x_n=\frac{2}{3n+1}$$ — бесконечно малая последовательность.
Пусть $$\varepsilon>0.$$ Нужно найти $$N,$$ такое что при $$n>N$$ выполняется
$$\left|\frac{2}{3n+1}\right|<\varepsilon.$$
Так как $$3n+1>3n,$$ то достаточно потребовать
$$\frac{2}{3n}<\varepsilon,$$
откуда
$$n>\frac{2}{3\varepsilon}.$$
Возьмём, например, $$N=\frac{2}{3\varepsilon}.$$ Тогда при всех $$n>N$$ имеем $$|x_n|<\varepsilon,$$ значит, $$x_n$$ — бесконечно малая последовательность.
Следовательно,
$$\lim_{n\to+\infty}x_n=0.$$
Ответ
1) а) $$x_n=4-\frac{9}{3n+1}$$; б) $$4$$.
2) а) $$\frac34$$; б) $$-\infty$$; в) $$5$$; г) $$0$$; д) $$-1$$; е) $$\sqrt{e}$$.
3) $$x_n=\frac{2}{3n+1}$$ — бесконечно малая; $$\lim_{n\to+\infty}x_n=0$$.
