Самостоятельная работа 18 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Упростите, применив формулы сокращенного умножения:
а) (m^(1/4)-n^(1/2))^2-(m^(1/4)+n^(1/2))^2; б) (m^(1/3)+3n^(1/2))^2+(m^(1/3)-3n^(1/2))^2;
в) (m^(1/2)-2n^(1/4))(m^(1/2)+2n^(1/4)); г) (m^(1/2)-3n)(m+3m^(1/2) n+9n^2).
3. Вычислите ((2^(1/4)-8^(1/4))^2+8)((2^(1/4)+8^(1/4))-8).
4. Сократите дробь (x^(3/2)-y^(3/2))/(x+x^(1/2) y^(1/2)+y).
5. Упростите (x^(2/3)+2(xy)^(1/3)+4y^(2/3))/((x^4)^(1/3)-8y x^(1/3))·(2-(y/x)^(-1/3)).

1. Запишем выражения в виде степени:

   $$\sqrt{7}=7^{\frac12}, \qquad \sqrt[3]{2}=2^{\frac13}, \qquad \sqrt[4]{6^5}=6^{\frac54}.$$

2. Упростим выражения, используя формулы сокращённого умножения:

   а) $$\left(m^{\frac14}-n^{\frac12}\right)^2-\left(m^{\frac14}+n^{\frac12}\right)^2$$

   $$=\left(a-b\right)^2-\left(a+b\right)^2=-4ab=-4m^{\frac14}n^{\frac12}.$$

   б) $$\left(m^{\frac13}+3n^{\frac12}\right)^2+\left(m^{\frac13}-3n^{\frac12}\right)^2$$

   $$=2\left(m^{\frac13}\right)^2+2\left(3n^{\frac12}\right)^2=2m^{\frac23}+18n.$$

   в) $$\left(m^{\frac12}-2n^{\frac14}\right)\left(m^{\frac12}+2n^{\frac14}\right)$$

   $$=\left(m^{\frac12}\right)^2-\left(2n^{\frac14}\right)^2=m-4n^{\frac12}.$$

   г) $$\left(m^{\frac12}-3n\right)\left(m+3m^{\frac12}n+9n^2\right)$$

   $$=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3=m^{\frac32}-27n^3,$$

   где $$a=m^{\frac12}, \quad b=3n.$$

3. Вычислим значение:

   $$\left(\left(2^{\frac14}-8^{\frac14}\right)^2+8\right)\left(\left(2^{\frac14}+8^{\frac14}\right)^2-8\right).$$

   Так как $$8^{\frac14}=2^{\frac34},$$ то

   $$\left(2^{\frac14}\right)^2=2^{\frac12}=\sqrt2,\qquad \left(8^{\frac14}\right)^2=8^{\frac12}=2\sqrt2.$$

   Тогда

   $$\left(\sqrt2-2\sqrt2-2\cdot\sqrt[4]{16}+8\right)\left(\sqrt2+2\sqrt2+2\cdot\sqrt[4]{16}-8\right)$$

   удобнее представить как

   $$\left(3\sqrt2+4\right)\left(3\sqrt2-4\right)=\left(3\sqrt2\right)^2-4^2=18-16=2.$$

4. Сократим дробь:

   $$\frac{x^{\frac32}-y^{\frac32}}{x+x^{\frac12}y^{\frac12}+y}.$$

   Числитель разложим по формуле разности кубов:

   $$x^{\frac32}-y^{\frac32}=\left(\sqrt{x}\right)^3-\left(\sqrt{y}\right)^3=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right).$$

   Тогда

   $$\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{x+\sqrt{xy}+y}=\sqrt{x}-\sqrt{y}=x^{\frac12}-y^{\frac12}.$$

5. Упростим выражение:

   $$\frac{x^{\frac23}+2(xy)^{\frac13}+4y^{\frac23}}{\sqrt[3]{x^4}-8y\sqrt[3]{x}}\cdot\left(2-\left(\frac{y}{x}\right)^{-\frac13}\right).$$

   Преобразуем:

   $$\sqrt[3]{x^4}=x\sqrt[3]{x}, \qquad \left(\frac{y}{x}\right)^{-\frac13}=\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac13}.$$

   Тогда

   $$\frac{x^{\frac23}+2(xy)^{\frac13}+4y^{\frac23}}{\sqrt[3]{x}(x-8y)}\cdot\left(2-\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac13}\right).$$

   Числитель первой дроби представим как

   $$x^{\frac23}+2(xy)^{\frac13}+4y^{\frac23}=\left(x^{\frac13}+2y^{\frac13}\right)^2.$$

   А второй множитель:

   $$2-\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac13}=\frac{2y^{\frac13}-x^{\frac13}}{y^{\frac13}}.$$

   После сокращения получаем

   $$-\frac{1}{x^{\frac13}y^{\frac13}}.$$

Ответ

1) $$7^{\frac12},\ 2^{\frac13},\ 6^{\frac54}$$

2) а) $$-4m^{\frac14}n^{\frac12}$$; б) $$2m^{\frac23}+18n$$; в) $$m-4n^{\frac12}$$; г) $$m^{\frac32}-27n^3$$

3) $$2$$

4) $$x^{\frac12}-y^{\frac12}$$

5) $$-\frac{1}{x^{\frac13}y^{\frac13}}$$