Самостоятельная работа 17 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Сравните числа 2004^(1/3)-2006^(1/4) и 2007^(1/3)-2005^(1/4).
3. Докажите, что функция y=(1-5x)^(1/4) убывающая.
4. Решите уравнение (10x-7)^(1/3)+v(4+2x)=(-29-x)^(1/3).

1. Сравним числа, представив их как степени с одинаковым показателем:

   $$ \sqrt[3]{12}=\sqrt[12]{12^4}=\sqrt[12]{20736}, \qquad \sqrt[4]{28}=\sqrt[12]{28^3}=\sqrt[12]{21952}. $$

   Так как $$20736<21952,$$ то

   $$\sqrt[3]{12}<\sqrt[4]{28}.$$

2. Сравним значения:

   $$ \sqrt[3]{2004}<\sqrt[3]{2007}, \qquad -\sqrt[4]{2006}<-\sqrt[4]{2005}. $$

   Складывая неравенства, получаем:

   $$ \sqrt[3]{2004}-\sqrt[4]{2006}<\sqrt[3]{2007}-\sqrt[4]{2005}. $$

3. Рассмотрим функцию

   $$y=\sqrt[4]{1-5x}.$$

   Если $$x_2>x_1,$$ то

   $$5x_2>5x_1,\qquad 1-5x_2<1-5x_1.$$

   Так как функция $$\sqrt[4]{t}$$ возрастает, то

   $$\sqrt[4]{1-5x_2}<\sqrt[4]{1-5x_1}.$$

   Значит, при увеличении $$x$$ значение $$y$$ уменьшается, то есть функция убывает.

4. Решим уравнение

   $$\sqrt[3]{10x-7}+\sqrt{4+2x}=\sqrt[3]{-29-x}.$$

   Левая часть — сумма возрастающей функции $$\sqrt[3]{10x-7}$$ и возрастающей функции $$\sqrt{4+2x}$$, значит, она возрастает. Правая часть $$\sqrt[3]{-29-x}$$ убывает. Следовательно, уравнение может иметь не более одного корня.

   Проверим $$x=-2$$:

   $$ \sqrt[3]{10\cdot(-2)-7}+\sqrt{4+2\cdot(-2)} =\sqrt[3]{-27}+\sqrt{0} =-3+0=-3, $$

   $$ \sqrt[3]{-29-(-2)}=\sqrt[3]{-27}=-3. $$

   Значит, $$x=-2$$ — корень уравнения.

Ответ

1) $$\sqrt[3]{12}<\sqrt[4]{28}$$; 2) $$\sqrt[3]{2004}-\sqrt[4]{2006}<\sqrt[3]{2007}-\sqrt[4]{2005}$$; 3) функция убывает; 4) $$x=-2$$.