Самостоятельная работа 22 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
Решите неравенство (1—3).
- а) $$\left(\frac{1}{4}\right)^x ? 2$$;
б) $$\left(0{,}7\right)^x ? -0{,}7$$;
в) $$4^{2x-1}>\frac{1}{2}$$;
г) $$\log_{0{,}2}x ? -1$$;
д) $$\log_{5}(4x+1)<2$$;
е) $$7^x-44\cdot7^{x-2}<35$$. - а) $$\left(\frac{1}{4}\right)^x-9\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^x ? -8$$;
б) $$64^x-4\cdot8^x+4>0$$;
в) $$(\lg x)^2+2\lg x-3>0$$;
г) $$\left(\log_{0{,}5}x\right)^2-\log_{0{,}5}x-6<0$$. - а) $$\frac{\log_{6}3{,}6}{2-\log_{6}x} ? 1$$;
б) $$25^x-10\cdot5^x+24+\frac{1}{25^x-10\cdot5^x+26}>0$$;
в) $$(4+\sqrt{15})^{2x}-8\cdot\left(\frac{1}{4-\sqrt{15}}\right)^x+1 ? 0$$.
а) $$\left(\frac14\right)^x \ge 2$$
$$2^{-2x} \ge 2^1$$
$$-2x \ge 1,\quad x \le -\frac12$$
Ответ: $$(-\infty;\,-0{,}5]$$
б) $$\left(0{,}7\right)^x \le -0{,}7$$
Так как $$\left(0{,}7\right)^x > 0$$ при любых $$x$$, неравенство решений не имеет.
Ответ: решений нет.
в) $$4^{2x-1} > \frac12$$
$$4^{2x-1} > 4^{-1/2}$$
$$2x-1 > -\frac12,\quad 2x > \frac12,\quad x > \frac14$$
Ответ: $$(0{,}25;\,+\infty)$$
г) $$\log_{0{,}2} x \ge -1$$
При основании $$0{,}2<1$$ знак неравенства меняется:
$$0 < x \le 0{,}2^{-1} = 5$$
Ответ: $$(0;\,5]$$
д) $$\log_5(4x+1) < 2$$
$$0 < 4x+1 < 5^2$$
$$0 < 4x+1 < 25$$
$$-1 < 4x < 24,\quad -\frac14 < x < 6$$
Ответ: $$(-0{,}25;\,6)$$
е) $$7^x — 44\cdot 7^{x-2} < 35$$
$$7^x — 44\cdot \frac{1}{49}\cdot 7^x < 35$$
$$\left(1-\frac{44}{49}\right)7^x < 35$$
$$\frac{5}{49}7^x < 35,\quad 7^x < 343 = 7^3$$
$$x < 3$$
Ответ: $$(-\infty;\,3)$$
а) $$\left(\frac14\right)^x — 9\left(\frac12\right)^x \ge -8$$
Положим $$y=\left(\frac12\right)^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$y^2-9y+8\ge 0$$
$$D=9^2-4\cdot 8=49,\quad y_1=1,\quad y_2=8$$
$$(y-1)(y-8)\ge 0,\quad y\le 1 \ \text{или}\ y\ge 8$$
$$\left(\frac12\right)^x \le 1 \Rightarrow x\ge 0$$
$$\left(\frac12\right)^x \ge 8=2^3 \Rightarrow x\le -3$$
Ответ: $$(-\infty;\,-3]\cup[0;\,+\infty)$$
б) $$64^x-4\cdot 8^x+4>0$$
Положим $$y=8^x,\quad y>0.$$ Тогда $$64^x=(8^x)^2=y^2,$$ и получаем
$$y^2-4y+4>0$$
$$(y-2)^2>0,\quad y\ne 2$$
$$8^x\ne 2,\quad 2^{3x}\ne 2,\quad 3x\ne 1,\quad x\ne \frac13$$
Ответ: $$(-\infty;\,\tfrac13)\cup(\tfrac13;\,+\infty)$$
в) $$(\lg x)^2+2\lg x-3>0$$
Положим $$y=\lg x,\quad x>0.$$ Тогда
$$y^2+2y-3>0$$
$$D=2^2+4\cdot 3=16,\quad y_1=-3,\quad y_2=1$$
$$(y+3)(y-1)>0,\quad y<-3 \ \text{или}\ y>1$$
$$\lg x<-3 \Rightarrow 0
$$\lg x>1 \Rightarrow x>10$$
Ответ: $$(0;\,0{,}001)\cup(10;\,+\infty)$$
г) $$(\log_{0{,}5} x)^2-\log_{0{,}5} x-6<0$$
Положим $$y=\log_{0{,}5}x,\quad x>0.$$ Тогда
$$y^2-y-6<0$$
$$D=1+24=25,\quad y_1=-2,\quad y_2=3$$
$$(y+2)(y-3)<0,\quad -2
Так как основание $$0{,}5<1,$$ получаем
$$-2<\log_{0{,}5}x<3$$
$$2^{-3}
$$\frac18
Ответ: $$(\tfrac18;\,4)$$
а) $$\frac{\log_6 3{,}6}{2-\log_6 x}\le 1$$
Положим $$y=2-\log_6 x.$$ Тогда $$\log_6 3{,}6=\log_6 y,$$ и нужно рассмотреть случаи.
1) $$y>0$$, то есть $$\log_6 3{,}6\le y$$:
$$2-\log_6 x\ge \log_6 3{,}6$$
$$\log_6(3{,}6x)\le 2$$
$$3{,}6x\le 36,\quad 0
2) $$y<0$$, то есть $$\log_6 3{,}6\ge y$$:
$$2-\log_6 x\le \log_6 3{,}6$$
$$x\ge 10$$
Ответ: $$(0;\,10]\cup(36;\,+\infty)$$
б) $$25^x-10\cdot 5^x+24+\frac{1}{25^x-10\cdot 5^x+26}>0$$
Положим $$y=25^x-10\cdot 5^x+24.$$ Тогда
$$y+\frac{1}{y+2}>0$$
$$\frac{y(y+2)+1}{y+2}>0$$
$$\frac{(y+1)^2}{y+2}>0$$
Отсюда $$y>-1,\quad y\ne -2.$$
Положим $$z=5^x>0.$$ Тогда
$$25^x-10\cdot 5^x+24=z^2-10z+24=(z-5)^2-1$$
Условие $$y>-1$$ даёт
$$z^2-10z+25>0,\quad (z-5)^2>0,\quad z\ne 5$$
$$5^x\ne 5,\quad x\ne 1$$
Ответ: $$(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)$$
в) $$(4+\sqrt{15})^{2x}-8\left(\frac{1}{4-\sqrt{15}}\right)^x+1\le 0$$
Так как $$\frac{1}{4-\sqrt{15}}=4+\sqrt{15},$$ получаем
$$(4+\sqrt{15})^{2x}-8(4+\sqrt{15})^x+1\le 0$$
Положим $$y=(4+\sqrt{15})^x,\quad y>0.$$ Тогда
$$y^2-8y+1\le 0$$
$$D=64-4=60,\quad y_{1,2}=4\pm \sqrt{15}$$
$$4-\sqrt{15}\le y\le 4+\sqrt{15}$$
Так как $$4+\sqrt{15}>1,$$ то
$$1\le x\le 1$$
Ответ: $$[1;\,1]$$
