Самостоятельная работа 15 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение x^2+(2a+1)x+4=0 имеет два различных корня, больших 1.
3. Найдите все значения а, при каждом из которых не имеет решений система неравенств {x^2-(6a+2)x+9a^2+6a < 0, |3x-2a|?4}. 4. Найдите все значения а, при каждом из которых один из корней уравнения x^2+(4a+2)x+3a^2+8a-3=0 положительный, а другой заключен между числами -3 и -2.

1. Чтобы неравенство $$x^2+(3a+2)x-2a\ge 0$$ выполнялось при любом действительном $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть неотрицателен при всех $$x$$. Так как старший коэффициент равен $$1>0$$, достаточно потребовать $$D\le 0$$:

   $$ D=(3a+2)^2-4\cdot 1\cdot(-2a)=9a^2+20a+4\le 0. $$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:
   $$ 9a^2+20a+4=0,\qquad D_a=20^2-4\cdot 9\cdot 4=256. $$
   $$ a_{1,2}=\frac{-20\pm 16}{18}. $$
   Отсюда
   $$ a_1=-2,\qquad a_2=-\frac{2}{9}. $$

   Тогда
   $$ 9a^2+20a+4\le 0 \quad \Longrightarrow \quad -2\le a\le -\frac{2}{9}. $$

2. Уравнение $$x^2+(2a+1)x+4=0$$ имеет два различных корня, больших $$1$$.

   Сделаем замену $$x=t+1$$. Тогда оба корня по условию должны быть положительными:

   $$ (t+1)^2+(2a+1)(t+1)+4=0 $$
   $$ t^2+(2a+3)t+(2a+6)=0. $$

   Для двух различных положительных корней нужно:

   • $$D>0$$;
   • сумма корней $$>0$$;
   • произведение корней $$>0$$.

   По Виету:
   $$ t_1+t_2=-(2a+3)>0 \quad \Longrightarrow \quad a<-\frac{3}{2}, $$ $$ t_1t_2=2a+6>0 \quad \Longrightarrow \quad a>-3. $$

   Дискриминант:
   $$ D=(2a+3)^2-4(2a+6)=4a^2+4a-15=(2a+5)(2a-3)>0. $$
   Отсюда
   $$ a<-\frac{5}{2}\quad \text{или}\quad a>\frac{3}{2}. $$

   Пересечение с условиями $$-3<a<-\frac{3}{2}$$ даёт:

   $$ -3<a<-\frac{5}{2}. $$

3. Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} x^2-(6a+2)x+9a^2+6a<0,\\ |3x-2a|\le 4. \end{cases} $$

   Первое неравенство:

   $$ x^2-(6a+2)x+9a^2+6a=(x-3a)(x-3a-2), $$
   значит
   $$ 3a<x<3a+2. $$

   Второе неравенство:

   $$ |3x-2a|\le 4 \quad \Longrightarrow \quad -4\le 3x-2a\le 4, $$
   $$ \frac{2a-4}{3}\le x\le \frac{2a+4}{3}. $$

   Чтобы система не имела решений, промежутки не должны пересекаться. Это возможно в двух случаях:

   $$ 3a+2\le \frac{2a-4}{3} \quad \Longrightarrow \quad 7a\le -10 \quad \Longrightarrow \quad a\le -\frac{10}{7}, $$
   или
   $$ 3a\ge \frac{2a+4}{3} \quad \Longrightarrow \quad 7a\ge 4 \quad \Longrightarrow \quad a\ge \frac{4}{7}. $$

4. Пусть корни уравнения

   $$ x^2+(4a+2)x+3a^2+8a-3=0 $$

   обозначены через $$x_1$$ и $$x_2$$. Тогда

   $$ D=(4a+2)^2-4(3a^2+8a-3)=(2a-4)^2. $$

   Следовательно,
   $$ x_1=\frac{-(4a+2)+(2a-4)}{2}=-a-3,\qquad x_2=\frac{-(4a+2)-(2a-4)}{2}=1-3a. $$

   Требуется, чтобы один корень был положительным, а другой лежал между $$-3$$ и $$-2$$.

   1) Пусть $$-a-3>0$$, а $$-3<1-3a<-2$$.

   Тогда
   $$ a<-3, $$
   и
   $$ -3<1-3a<-2 \quad \Longrightarrow \quad -4<-3a<-3 \quad \Longrightarrow \quad 1<a<\frac{4}{3}. $$
   Совместных значений нет.

   2) Пусть $$1-3a>0$$, а $$-3<-a-3<-2$$.

   Тогда
   $$ a<\frac{1}{3}, $$
   и
   $$ -3<-a-3<-2 \quad \Longrightarrow \quad 0<-a<1 \quad \Longrightarrow \quad -1<a<0. $$
   Пересечение с $$a<\frac{1}{3}$$ даёт
   $$ -1<a<0. $$

Ответ

1) $$-2\le a\le -\frac{2}{9}$$;
2) $$-3<a<-\frac{5}{2}$$;
3) $$a\le -\frac{10}{7}$$ или $$a\ge \frac{4}{7}$$;
4) $$-1<a<0$$.