Самостоятельная работа 14 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) 3v(10x-1)=11-90x;
б) (vx+1)/(vx-3)-(vx-2)/(vx-1)=-2/3;
в) v((3x-1)/(x+2))-4v((x+2)/(3x-1))+3=0.
2. Решите неравенство:
а) 5v(x+4) < x+10;
б) (2x-3)/(3x-2)-v((2x-3)/(3x-2))-12?0;
в) v((2x-1)/(x+3))-12v((x+3)/(2x-1))+4?0.
а) Пусть $$y=\sqrt{10x-1}.$$ Тогда $$3y=11-90x.$$
Так как $$y^2=10x-1,$$ то $$x=\frac{y^2+1}{10}.$$ Подставим:
$$3y=11-9(y^2+1),$$
$$9y^2+3y-2=0.$$
$$D=3^2-4\cdot 9\cdot(-2)=81,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 9}{18}.$$
Получаем $$y=\frac13$$ или $$y=-\frac23.$$ Но $$y=\sqrt{10x-1}\ge 0,$$ значит подходит только $$y=\frac13.$$ Тогда
$$10x-1=\frac19,\qquad 10x=\frac{10}{9},\qquad x=\frac19.$$
б) Пусть $$y=\sqrt{x}.$$ Тогда $$x=y^2,$$ и уравнение принимает вид
$$\frac{y+1}{y-3}-\frac{y-2}{y-1}=-\frac23.$$
Умножим на $$3(y-3)(y-1):$$
$$3(y+1)(y-1)-3(y-2)(y-3)=-2(y-3)(y-1).$$
После раскрытия скобок:
$$3(y^2-1)-3(y^2-5y+6)=-2(y^2-4y+3),$$
$$15y-21=-2y^2+8y-6,$$
$$2y^2+7y-15=0.$$
$$D=7^2+4\cdot 2\cdot 15=169,$$
$$y_{1,2}=\frac{-7\pm 13}{4}.$$
Отсюда $$y_1=-5,$$ $$y_2=\frac32.$$ Так как $$y=\sqrt{x}\ge 0,$$ берём $$y=\frac32.$$ Тогда
$$x=y^2=\left(\frac32\right)^2=\frac94.$$
в) Пусть $$y=\sqrt{\frac{3x-1}{x+2}}.$$ Тогда
$$\sqrt{\frac{x+2}{3x-1}}=\frac1y,$$
и уравнение перепишется так:
$$y-\frac4y+3=0.$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2+3y-4=0.$$
$$D=3^2+4\cdot 4=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{2}.$$
Получаем $$y_1=-4,$$ $$y_2=1.$$ Так как $$y\ge 0,$$ подходит только $$y=1.$$ Тогда
$$\sqrt{\frac{3x-1}{x+2}}=1,\qquad \frac{3x-1}{x+2}=1,$$
$$3x-1=x+2,\qquad 2x=3,\qquad x=\frac32.$$
Ответ
- а) $$\frac19$$
- б) $$\frac94$$
- в) $$\frac32$$
Ход решения
а) Пусть $$y=x+4.$$ Тогда неравенство имеет вид
$$5\sqrt{y}
Перенесём всё в одну сторону и введём $$t=\sqrt{y}\ge 0$$:
$$5t
$$t^2-5t+6>0,$$
$$ (t-2)(t-3)>0.$$
Отсюда $$t<2$$ или $$t>3.$$ С учётом $$t=\sqrt{y}\ge 0$$ получаем
$$y<4 \quad \text{или} \quad y>9.$$
Возвращаясь к $$x$$:
$$x+4<4 \Rightarrow x<0,$$
$$x+4>9 \Rightarrow x>5.$$
С учётом области определения $$x\ge -4$$:
$$x\in[-4;0)\cup(5;+\infty).$$
б) Пусть $$y=\sqrt{\frac{2x-3}{3x-2}}.$$ Тогда
$$y-12\le 0,$$
$$y^2-y-12\le 0,$$
$$ (y+3)(y-4)\le 0,$$
$$-3\le y\le 4.$$
Так как $$y\ge 0,$$ то достаточно $$0\le y\le 4.$$
1) $$y\ge 0 \Rightarrow \frac{2x-3}{3x-2}\ge 0,$$ откуда
$$x\in(-\infty;\frac23]\cup[\frac32;+\infty).$$
2) $$y\le 4 \Rightarrow \frac{2x-3}{3x-2}\le 16,$$
$$2x-3\le 16(3x-2),$$
$$46x\ge 29,$$
$$x\ge \frac{29}{46}.$$
Пересечение условий даёт
$$x\in\left[\frac32;+\infty\right).$$
в) Пусть $$y=\sqrt{\frac{2x-1}{x+3}}.$$ Тогда
$$y-12\sqrt{\frac{x+3}{2x-1}}+4\le 0,$$
то есть
$$y-\frac{12}{y}+4\le 0.$$
Умножим на $$y>0$$:
$$y^2+4y-12\le 0,$$
$$ (y+6)(y-2)\le 0,$$
$$-6\le y\le 2.$$
С учётом $$y\ge 0$$ получаем $$0<y\le 2.$$
1) $$y>0 \Rightarrow \frac{2x-1}{x+3}>0,$$ откуда
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>\frac12.$$
2) $$y\le 2 \Rightarrow \frac{2x-1}{x+3}\le 4,$$
$$2x-1\le 4(x+3),$$
$$-2x\le 13,$$
$$x\ge -\frac{13}{2}.$$
Пересечение условий:
$$x\in(-\infty;-3)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$
Ответ
- а) $$(-4;0)\cup(5;+\infty)$$
- б) $$\left[\frac32;+\infty\right)$$
- в) $$(-\infty;-3)\cup\left(\frac12;+\infty\right)$$
