Самостоятельная работа 13 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. (x^2+4x)^2-(x+2)^2-16 < 0. 2. (x+5)(x+7)^2 (x+9)?-3. 3. x^2+2x-9+9/(x+1)^2?0.
$$\left(x^2+4x\right)^2-\left(x+2\right)^2-16<0$$
Обозначим $$y=x^2+4x$$. Тогда
$$y^2-(y+4)-16<0$$
$$y^2-y-20<0$$
$$\left(y+4\right)\left(y-5\right)<0,$$
откуда $$-4<y<5.$$
1) $$x^2+4x>-4$$
$$x^2+4x+4>0$$
$$\left(x+2\right)^2>0,$$
значит, $$x\ne -2.$$
2) $$x^2+4x<5$$
$$x^2+4x-5<0$$
$$\left(x+5\right)\left(x-1\right)<0,$$
откуда $$-5<x<1.$$
Пересекаем с условием $$x\ne -2$$:
$$x\in(-5;-2)\cup(-2;1).$$
$$\left(x+5\right)\left(x+7\right)^2\left(x+9\right)\ge -3$$
$$\left(x^2+14x+45\right)\left(x^2+14x+49\right)\ge -3$$
Обозначим $$y=x^2+14x$$. Тогда
$$\left(y+45\right)\left(y+49\right)\ge -3$$
$$y^2+94y+2205\ge -3$$
$$y^2+94y+2208\ge 0$$
$$\left(y+48\right)\left(y+46\right)\ge 0,$$
откуда $$y\le -48$$ или $$y\ge -46.$$
1) $$x^2+14x\le -48$$
$$x^2+14x+48\le 0$$
$$\left(x+8\right)\left(x+6\right)\le 0,$$
значит, $$x\in[-8;-6].$$
2) $$x^2+14x\ge -46$$
$$x^2+14x+46\ge 0$$
$$D=14^2-4\cdot 46=12,$$
$$x_{1,2}=\frac{-14\pm\sqrt{12}}{2}=-7\pm\sqrt{3}.$$
Тогда
$$x\in(-\infty;-7-\sqrt3]\cup[-7+\sqrt3;+\infty).$$
Объединяя результаты, получаем
$$x\in(-\infty;-7-\sqrt3]\cup[-8;-6]\cup[-7+\sqrt3;+\infty).$$
$$x^2+2x-9+\frac{9}{(x+1)^2}\ge 0,$$
$$x\ne -1.$$
Обозначим $$y=x^2+2x.$$ Тогда
$$y-9+\frac{9}{y+1}\ge 0$$
$$\frac{(y-9)(y+1)+9}{y+1}\ge 0$$
$$\frac{y^2-8y}{y+1}\ge 0$$
$$\frac{y(y-8)}{y+1}\ge 0.$$
Отсюда
$$-1<y\le 0 \quad \text{или} \quad y\ge 8.$$
1) $$x^2+2x\le 0$$
$$x\left(x+2\right)\le 0,$$
значит, $$x\in[-2;0].$$
2) $$x^2+2x>-1$$
$$x^2+2x+1>0$$
$$\left(x+1\right)^2>0,$$
то есть $$x\ne -1.$$
3) $$x^2+2x\ge 8$$
$$x^2+2x-8\ge 0$$
$$\left(x+4\right)\left(x-2\right)\ge 0,$$
откуда $$x\in(-\infty;-4]\cup[2;+\infty).$$
С учётом объединения получаем
$$x\in(-\infty;-4]\cup[-2;-1)\cup(-1;0]\cup[2;+\infty).$$
Ответ
1) $$(-5;-2)\cup(-2;1)$$
2) $$(-\infty;-7-\sqrt3]\cup[-8;-6]\cup[-7+\sqrt3;+\infty)$$
3) $$(-\infty;-4]\cup[-2;-1)\cup(-1;0]\cup[2;+\infty)$$
