Самостоятельная работа 19 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. Представим дробь в виде суммы числа и бесконечно малой:

   $$x_n=\frac{12n-5}{3n+1}=4-\frac{9}{3n+1}.$$

   Так как $$\frac{9}{3n+1}\to 0$$ при $$n\to+\infty,$$ то

   $$\lim_{n\to+\infty}x_n=4.$$

2. Вычислим пределы:

   а) $$\lim_{n\to+\infty}\frac{3n+7}{4n-5}=\lim_{n\to+\infty}\frac{3+\frac{7}{n}}{4-\frac{5}{n}}=\frac34.$$

   б) $$\lim_{n\to+\infty}\frac{-2n^3+n-10}{n^2+12n+20}=\lim_{n\to+\infty}\frac{-2+\frac{1}{n^2}-\frac{10}{n^3}}{\frac{1}{n}+\frac{12}{n^2}+\frac{20}{n^3}}=-\infty.$$

   в) $$\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{3n-11}{2n+3}+\frac{7n+1}{2n-3}\right)=\frac32+\frac72=5.$$

   г) $$\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2+5n-13}{-2n^3+7n+1}=\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{1}{n}+\frac{5}{n^2}-\frac{13}{n^3}}{-2+\frac{7}{n^2}+\frac{1}{n^3}}=0.$$

   д) $$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+11}-\sqrt{n^2+2n}\right)=\lim_{n\to+\infty}\frac{11-2n}{\sqrt{n^2+11}+\sqrt{n^2+2n}}=-1.$$

   е) $$\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n=\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n\cdot \frac12}=e^{1/2}=\sqrt{e}.$$

3. Докажем, что $$x_n=\frac{2}{3n+1}$$ — бесконечно малая последовательность.

   Пусть $$\varepsilon>0.$$ Нужно найти $$N,$$ такое что при $$n>N$$ выполняется

   $$\left|\frac{2}{3n+1}\right|<\varepsilon.$$

   Так как $$3n+1>3n,$$ то достаточно потребовать

   $$\frac{2}{3n}<\varepsilon,$$

   откуда

   $$n>\frac{2}{3\varepsilon}.$$

   Возьмём, например, $$N=\frac{2}{3\varepsilon}.$$ Тогда при всех $$n>N$$ имеем $$|x_n|<\varepsilon,$$ значит, $$x_n$$ — бесконечно малая последовательность.

   Следовательно,

   $$\lim_{n\to+\infty}x_n=0.$$

Ответ

1) а) $$x_n=4-\frac{9}{3n+1}$$; б) $$4$$.

2) а) $$\frac34$$; б) $$-\infty$$; в) $$5$$; г) $$0$$; д) $$-1$$; е) $$\sqrt{e}$$.

3) $$x_n=\frac{2}{3n+1}$$ — бесконечно малая; $$\lim_{n\to+\infty}x_n=0$$.