Самостоятельная работа 12 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) (x+2)(x-3)(x+4) < 0; б) (x+3)^2·(x-2)/(x+4)?0.
2. а) (3x-1)/(x+3)?-1; б) (x+3)/(x-3)-8/(x+1)-23/(x^2-2x-3)?0.
3. Решите систему неравенств:
а) {x^2-7x+12 > 0, x^2-4x-5?0};
б) {x^2-2x-3?0, (x-3)/(x+4)?0};
в) {|x+1|?6, x^2+x-30?0}.
а) $$ (x+2)(x-3)(x+4)<0 $$
Нули: $$x=-4,\,-2,\,3.$$
Рассмотрим знаки на промежутках:
$$(-\infty;-4),\;(-4;-2),\;(-2;3),\;(3;+\infty).$$
Произведение отрицательно на промежутках $$(-\infty;-4)$$ и $$(-2;3).$$
Ответ: $$(-\infty;-4)\cup(-2;3).$$
б) $$ \frac{(x+3)^2(x-2)}{x+4}\ge 0 $$
Область определения: $$x\ne -4.$$
Критические точки: $$x=-4,\,-3,\,2.$$
Исследуем знак дроби на промежутках:
$$(-\infty;-4),\;(-4;-3),\;(-3;2),\;(2;+\infty).$$
Так как $$ (x+3)^2\ge 0, $$ знак выражения определяется множителем $$\frac{x-2}{x+4}.$$
Получаем:
$$(-\infty;-4)\cup\{-3\}\cup[2;+\infty).$$
Ответ: $$(-\infty;-4)\cup\{-3\}\cup[2;+\infty).$$
2а) $$ \frac{3x-1}{x+3}\le -1 $$
Перенесём $$-1$$ в левую часть:
$$\frac{3x-1}{x+3}+1\le 0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{3x-1+x+3}{x+3}\le 0,$$
$$\frac{4x+2}{x+3}\le 0.$$
Критические точки: $$x=-3,\;x=-\frac12.$$
Ответ:
$$(-3;-\tfrac12].$$
2б) $$ \frac{x+3}{x-3}-\frac{8}{x+1}-\frac{23}{x^2-2x-3}\ge 0 $$
Разложим знаменатель:
$$x^2-2x-3=(x-3)(x+1).$$
Тогда
$$\frac{x+3}{x-3}-\frac{8}{x+1}-\frac{23}{(x-3)(x+1)}\ge 0.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(x+3)(x+1)-8(x-3)-23}{(x-3)(x+1)}\ge 0,$$
$$\frac{x^2+4x+3-8x+24-23}{(x-3)(x+1)}\ge 0,$$
$$\frac{x^2-4x+4}{(x-3)(x+1)}\ge 0,$$
$$\frac{(x-2)^2}{(x-3)(x+1)}\ge 0.$$
Область определения: $$x\ne -1,\;x\ne 3.$$
Так как $$ (x-2)^2\ge 0, $$ то дробь неотрицательна при положительном знаменателе и при $$x=2.$$
Получаем:
$$(-\infty;-1)\cup\{2\}\cup(3;+\infty).$$
Ответ: $$(-\infty;-1)\cup\{2\}\cup(3;+\infty).$$
3а) $$\begin{cases}x^2-7x+12>0,\\ x^2-4x-5\le 0.\end{cases}$$
Первое неравенство:
$$x^2-7x+12=(x-3)(x-4)>0,$$
откуда
$$x<3 \quad \text{или} \quad x>4.$$
Второе неравенство:
$$x^2-4x-5=(x-5)(x+1)\le 0,$$
откуда
$$-1\le x\le 5.$$
Пересечение решений:
$$[-1;3)\cup(4;5].$$
Ответ: $$[-1;3)\cup(4;5].$$
3б) $$\begin{cases}x^2-2x-3\ge 0,\\ \dfrac{x-3}{x+4}<0.\end{cases}$$
Первое неравенство:
$$x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$
Второе неравенство:
$$\frac{x-3}{x+4}<0,$$
откуда
$$-4<x<3.$$
Пересечение решений:
$$(-4;-1]\cup\{3\}.$$
Ответ: $$(-4;-1]\cup\{3\}.$$
3в) $$\begin{cases}|x+1|\ge 6,\\ x^2+x-30\le 0.\end{cases}$$
Из первого неравенства:
$$x+1\le -6 \quad \text{или} \quad x+1\ge 6,$$
то есть
$$x\le -7 \quad \text{или} \quad x\ge 5.$$
Второе неравенство:
$$x^2+x-30=(x+6)(x-5)\le 0,$$
откуда
$$-6\le x\le 5.$$
Пересечение решений:
$$\{5\}.$$
Ответ: $$\{5\}.$$
