Самостоятельная работа 18 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Запишите в виде степени: $$\sqrt{7}$$; $$2^{1/3}$$; $$(6^5)^{1/4}$$.
- Упростите, применив формулы сокращённого умножения:
а) $$(m^{1/4}-n^{1/2})^2-(m^{1/4}+n^{1/2})^2$$;
б) $$(m^{1/3}+3n^{1/2})^2+(m^{1/3}-3n^{1/2})^2$$;
в) $$(m^{1/2}-2n^{1/4})(m^{1/2}+2n^{1/4})$$;
г) $$(m^{1/2}-3n)(m+3m^{1/2}n+9n^2)$$. - Вычислите $$( (2^{1/4}-8^{1/4})^2+8)((2^{1/4}+8^{1/4})-8)$$.
- Сократите дробь $$\frac{x^{3/2}-y^{3/2}}{x+x^{1/2}y^{1/2}+y}$$.
- Упростите $$\frac{x^{2/3}+2(xy)^{1/3}+4y^{2/3}}{(x^4)^{1/3}-8yx^{1/3}}\cdot\left(2-\left(\frac{y}{x}\right)^{-1/3}\right)$$.
Запишем выражения в виде степени:
$$\sqrt{7}=7^{\frac12}, \qquad \sqrt[3]{2}=2^{\frac13}, \qquad \sqrt[4]{6^5}=6^{\frac54}.$$
Упростим выражения, используя формулы сокращённого умножения:
а) $$\left(m^{\frac14}-n^{\frac12}\right)^2-\left(m^{\frac14}+n^{\frac12}\right)^2$$
$$=\left(a-b\right)^2-\left(a+b\right)^2=-4ab=-4m^{\frac14}n^{\frac12}.$$
б) $$\left(m^{\frac13}+3n^{\frac12}\right)^2+\left(m^{\frac13}-3n^{\frac12}\right)^2$$
$$=2\left(m^{\frac13}\right)^2+2\left(3n^{\frac12}\right)^2=2m^{\frac23}+18n.$$
в) $$\left(m^{\frac12}-2n^{\frac14}\right)\left(m^{\frac12}+2n^{\frac14}\right)$$
$$=\left(m^{\frac12}\right)^2-\left(2n^{\frac14}\right)^2=m-4n^{\frac12}.$$
г) $$\left(m^{\frac12}-3n\right)\left(m+3m^{\frac12}n+9n^2\right)$$
$$=\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3-b^3=m^{\frac32}-27n^3,$$
где $$a=m^{\frac12}, \quad b=3n.$$
Вычислим значение:
$$\left(\left(2^{\frac14}-8^{\frac14}\right)^2+8\right)\left(\left(2^{\frac14}+8^{\frac14}\right)^2-8\right).$$
Так как $$8^{\frac14}=2^{\frac34},$$ то
$$\left(2^{\frac14}\right)^2=2^{\frac12}=\sqrt2,\qquad \left(8^{\frac14}\right)^2=8^{\frac12}=2\sqrt2.$$
Тогда
$$\left(\sqrt2-2\sqrt2-2\cdot\sqrt[4]{16}+8\right)\left(\sqrt2+2\sqrt2+2\cdot\sqrt[4]{16}-8\right)$$
удобнее представить как
$$\left(3\sqrt2+4\right)\left(3\sqrt2-4\right)=\left(3\sqrt2\right)^2-4^2=18-16=2.$$
Сократим дробь:
$$\frac{x^{\frac32}-y^{\frac32}}{x+x^{\frac12}y^{\frac12}+y}.$$
Числитель разложим по формуле разности кубов:
$$x^{\frac32}-y^{\frac32}=\left(\sqrt{x}\right)^3-\left(\sqrt{y}\right)^3=\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right).$$
Тогда
$$\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{x+\sqrt{xy}+y}=\sqrt{x}-\sqrt{y}=x^{\frac12}-y^{\frac12}.$$
Упростим выражение:
$$\frac{x^{\frac23}+2(xy)^{\frac13}+4y^{\frac23}}{\sqrt[3]{x^4}-8y\sqrt[3]{x}}\cdot\left(2-\left(\frac{y}{x}\right)^{-\frac13}\right).$$
Преобразуем:
$$\sqrt[3]{x^4}=x\sqrt[3]{x}, \qquad \left(\frac{y}{x}\right)^{-\frac13}=\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac13}.$$
Тогда
$$\frac{x^{\frac23}+2(xy)^{\frac13}+4y^{\frac23}}{\sqrt[3]{x}(x-8y)}\cdot\left(2-\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac13}\right).$$
Числитель первой дроби представим как
$$x^{\frac23}+2(xy)^{\frac13}+4y^{\frac23}=\left(x^{\frac13}+2y^{\frac13}\right)^2.$$
А второй множитель:
$$2-\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac13}=\frac{2y^{\frac13}-x^{\frac13}}{y^{\frac13}}.$$
После сокращения получаем
$$-\frac{1}{x^{\frac13}y^{\frac13}}.$$
Ответ
1) $$7^{\frac12},\ 2^{\frac13},\ 6^{\frac54}$$
2) а) $$-4m^{\frac14}n^{\frac12}$$; б) $$2m^{\frac23}+18n$$; в) $$m-4n^{\frac12}$$; г) $$m^{\frac32}-27n^3$$
3) $$2$$
4) $$x^{\frac12}-y^{\frac12}$$
5) $$-\frac{1}{x^{\frac13}y^{\frac13}}$$
