Самостоятельная работа 11 Вариант 4 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) A(x)=4x^3+3x^2-5x+3, B(x)=x^2+2x-3;
б) A(x)=x^4-4x^3-7x^2+12x+24, B(x)=x^2+3x+2.
2. С помощью схемы Горнера разделите многочлен А(х) на многочлен В(х), укажите неполное частное Q(x) и остаток В(х), если A(x)=4x^4-12x^2+13x, B(x)=x+2.
3. С помощью теоремы Безу определите остаток R(x) от деления многочлена А(х) на многочлен В(х), если:
а) A(x)=6x^3-5x^2-6x-16, B(x)=x-2;
б) A(x)=(x+1)^9, B(x)=x+2.
4. Многочлен P_3(x)=x^3-2x^2+ax+b при делении на (x-1) дает в остатке -12, а на (x-3) делится без остатка. Определите коэффициенты a и b.
5. Решите уравнение:
а) 3x^3-14x^2+13x+6=0;
б) x^4+5x^3+5x^2-5x-6=0.

1. Выполним деление многочленов.

   а)

   $$4x^3+3x^2-5x+3=(x^2+2x-3)(4x-5)+(17x-12)$$

   Значит, $$Q(x)=4x-5,$$ $$R(x)=17x-12.$$

   б)

   $$x^4-4x^3-7x^2+12x+24=(x^2+3x+2)(x^2-7x+12)-10x$$

   Значит, $$Q(x)=x^2-7x+12,$$ $$R(x)=-10x.$$

2. Разделим многочлен по схеме Горнера на $$x+2.$$

   Коэффициенты многочлена $$4x^4-12x^2+13x$$: $$4,\ 0,\ -12,\ 13,\ 0.$$

   При $$x=-2$$ получаем коэффициенты частного $$4,\ -8,\ 4,\ 5$$ и остаток $$-10.$$

   Следовательно,
   $$4x^4-12x^2+13x=(x+2)(4x^3-8x^2+4x+5)-10.$$

   Значит, $$Q(x)=4x^3-8x^2+4x+5,$$ $$R(x)=-10.$$

3. По теореме Безу остаток при делении на $$x-a$$ равен $$A(a).$$

   а)

   $$R=A(2)=6\cdot 2^3-5\cdot 2^2-6\cdot 2-16=48-20-12-16=0.$$

   б)

   $$R=A(-2)=(-2+1)^9=(-1)^9=-1.$$

4. Так как многочлен $$P_3(x)=x^3-2x^2+ax+b$$ при делении на $$x-1$$ даёт остаток $$-12,$$ а на $$x-3$$ делится без остатка, то:

   $$P_3(1)=1-2+a+b=-12,$$

   $$a+b=-11.$$

   $$P_3(3)=27-18+3a+b=0,$$

   $$9+3a+b=0.$$

   Вычтем первое уравнение из второго:

   $$(9+3a+b)-(a+b)=0-(-11),$$

   $$2a=2,$$

   $$a=1.$$

   Тогда

   $$1+b=-11,$$

   $$b=-12.$$

5. Решим уравнения разложением на множители.

   а)

   $$3x^3-14x^2+13x+6=0$$

   $$3x^3-14x^2+13x+6=(x-2)(3x^2-8x-3)$$

   $$3x^2-8x-3=0$$

   $$D=(-8)^2-4\cdot 3\cdot (-3)=64+36=100$$

   $$x=\frac{8\pm 10}{6}$$

   $$x_1=-\frac13,\quad x_2=3.$$

   Итак, $$x=-\frac13,\ 2,\ 3.$$

   б)

   $$x^4+5x^3+5x^2-5x-6=0$$

   $$x^4+5x^3+5x^2-5x-6=(x+1)(x-1)(x^2+5x+6)$$

   $$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$$

   $$ (x+1)(x-1)(x+2)(x+3)=0 $$

   $$x=-1,\ 1,\ -2,\ -3.$$

Ответ

1) а) $$Q(x)=4x-5,$$ $$R(x)=17x-12;$$ б) $$Q(x)=x^2-7x+12,$$ $$R(x)=-10x.$$
2) $$Q(x)=4x^3-8x^2+4x+5,$$ $$R(x)=-10.$$
3) а) $$0;$$ б) $$-1.$$
4) $$a=1,$$ $$b=-12.$$
5) а) $$x=-\frac13,\ 2,\ 3;$$ б) $$x=-3,\ -2,\ -1,\ 1.$$