Контрольная работа 1 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
2. Решите уравнение (2x+7)/(x^2+2x)-(x-1)/(x^2+6x+8)=0.
3. Решите неравенство:
а) (x+1)(x+3)/(x-2) < 0;
б) (x^2-4x+4)/(x^2-x-20)?0.
4*. а) Упростите выражение (1/(n^2-3n+2)+1/(n^2-n)):(n+2)/(n^2-2n).
б) Найдите значение полученного выражения при n=2.
5*. Докажите справедливость неравенства:
а) x^2+y^2-6x+4y+13?0;
б) x^4+13x^2-6x+6 > 0;
в) x^2+3 > v(x^4+6x^2+8).
6*. Решите уравнение x^4+4x^3-2x^2-12x+9=0.
7*. К трехзначному числу приписали цифру 3 сначала справа, потом слева, получились два числа, разность которых равна 3114. Найдите это трехзначное число.
$$\left(\frac{10a}{a^2-b^2}+\frac{5}{b-a}-\frac{4}{a+b}\right):\frac{3}{a+b}$$
$$a^2-b^2=(a-b)(a+b), \quad \frac{5}{b-a}=-\frac{5}{a-b}$$
$$\frac{10a}{(a-b)(a+b)}-\frac{5(a+b)}{(a-b)(a+b)}-\frac{4(a-b)}{(a-b)(a+b)}$$
$$=\frac{10a-5a-5b-4a+4b}{(a-b)(a+b)}=\frac{a-b}{(a-b)(a+b)}=\frac{1}{a+b}$$
$$\frac{1}{a+b}:\frac{3}{a+b}=\frac{1}{3}$$
$$\frac{2x+7}{x^2+2x}-\frac{x-1}{x^2+6x+8}=0$$
$$x^2+2x=x(x+2), \quad x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$$
$$\frac{2x+7}{x(x+2)}-\frac{x-1}{(x+2)(x+4)}=0$$
$$\frac{(2x+7)(x+4)-x(x-1)}{x(x+2)(x+4)}=0$$
$$2x^2+8x+7x+28-x^2+x=0$$
$$x^2+16x+28=0$$
$$D=16^2-4\cdot 28=144$$
$$x=\frac{-16\pm 12}{2}$$
$$x_1=-14,\quad x_2=-2$$
С учётом ОДЗ: $$x\neq 0,\,-2,\,-4$$, подходит только $$x=-14$$.
а) $$\frac{(x+1)(x+3)}{x-2}<0$$
Нули числителя: $$x=-3,\,-1$$, точка разрыва: $$x=2$$.
Знак выражения отрицателен на промежутках $$(-\infty,-3)$$ и $$(-1,2)$$.
б) $$\frac{x^2-4x+4}{x^2-x-20}\ge 0$$
$$\frac{(x-2)^2}{(x-5)(x+4)}\ge 0$$
Числитель неотрицателен при всех $$x$$ и равен нулю при $$x=2$$.
Знак дроби определяется знаменателем, поэтому получаем:
$$(-\infty,-4)\cup\{2\}\cup(5,+\infty)$$а) $$\left(\frac{1}{n^2-3n+2}+\frac{1}{n^2-n}\right):\frac{n+2}{n^2-2n}$$
$$n^2-3n+2=(n-1)(n-2),\quad n^2-n=n(n-1),\quad n^2-2n=n(n-2)$$
$$\frac{1}{(n-1)(n-2)}+\frac{1}{n(n-1)}=\frac{n+(n-2)}{n(n-1)(n-2)}=\frac{2(n-1)}{n(n-1)(n-2)}$$
$$\left(\frac{2(n-1)}{n(n-1)(n-2)}\right):\frac{n+2}{n(n-2)}=\frac{2}{n+2}$$
б) При $$n=2$$:
$$\frac{2}{2+2}=\frac{1}{2}$$а) $$x^2+y^2-6x+4y+13\ge 0$$
$$x^2-6x+9+y^2+4y+4\ge 0$$
$$(x-3)^2+(y+2)^2\ge 0$$
Сумма квадратов неотрицательна при любых $$x$$ и $$y$$.
б) $$x^4+13x^2-6x+6>0$$
$$x^4+4x^2+9x^2-6x+4+1+1>0$$
$$(x^2+2)^2+(3x-1)^2+1>0$$
Левая часть всегда положительна.
в) $$x^2+3>\sqrt{x^4+6x^2+8}$$
Оба выражения неотрицательны, поэтому достаточно возвести в квадрат:
$$x^4+6x^2+9>x^4+6x^2+8$$$$9>8$$
Неравенство верно при любых $$x$$.
$$x^4+4x^3-2x^2-12x+9=0$$
$$x^4-x^3+5x^3-5x^2+3x^2-3x-9x+9=0$$
$$x^3(x-1)+5x^2(x-1)+3x(x-1)-9(x-1)=0$$
$$(x-1)(x^3+5x^2+3x-9)=0$$
$$(x-1)(x^2(x-1)+6x(x-1)+9(x-1))=0$$
$$(x-1)(x-1)(x^2+6x+9)=0$$
$$(x-1)^2(x+3)^2=0$$
$$x=1 \quad \text{или} \quad x=-3$$
Пусть искомое трёхзначное число равно $$x$$. Тогда числа, полученные при приписывании цифры 3 справа и слева, равны соответственно $$10x+3$$ и $$3000+x$$.
По условию:
$$ (10x+3)-(3000+x)=3114 $$$$9x-2997=3114$$
$$9x=6111$$
$$x=679$$
Ответ
1) $$\frac{1}{3}$$;
2) $$-14$$;
3) а) $$(-\infty,-3)\cup(-1,2)$$, б) $$(-\infty,-4)\cup\{2\}\cup(5,+\infty)$$;
4) а) $$\frac{2}{n+2}$$, б) $$\frac{1}{2}$$;
5) все неравенства верны при любых допустимых значениях переменных;
6) $$x=-3,\ 1$$;
7) $$679$$.
