Самостоятельная работа 10 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) (x-1)^6; б) (x+2)^5.
2. Вычислите коэффициент при a^5 в разложении выражения (a+1/a)^11 по формуле бинома Ньютона.
3. Вычислите сумму коэффициентов C(12; 0)+C(12; 1)+C(12; 2)+C(12; 3)+…+C(12; 12).
4. Сколько рациональных членов содержит разложение (v3-v5)^1000 по формуле бинома Ньютона?

1. По формуле бинома Ньютона:

   $$ (x-1)^6 = x^6 — 6x^5 + 15x^4 — 20x^3 + 15x^2 — 6x + 1 $$

   $$ (x+2)^5 = x^5 + 5x^4 \cdot 2 + 10x^3 \cdot 2^2 + 10x^2 \cdot 2^3 + 5x \cdot 2^4 + 2^5 $$

   $$ (x+2)^5 = x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32 $$

2. Найдём коэффициент при $$a^5$$ в разложении

   $$ \left(a+\frac{1}{a}\right)^{11} $$

   Общий член разложения:

   $$ C_{11}^k a^{11-k}\left(\frac{1}{a}\right)^k = C_{11}^k a^{11-2k} $$

   Требуется, чтобы

   $$ 11-2k=5 $$

   $$ 2k=6,\quad k=3 $$

   Тогда искомый коэффициент:

   $$ C_{11}^3=\frac{11!}{3!\,8!}=\frac{11\cdot 10\cdot 9}{3\cdot 2}=165 $$

3. Сумма коэффициентов:

   $$ C_{12}^0+C_{12}^1+C_{12}^2+\cdots+C_{12}^{12} $$

   По биному Ньютона:

   $$ (1+1)^{12}= \sum_{k=0}^{12} C_{12}^k $$

   $$ 2^{12}=4096 $$

4. Рассмотрим разложение

   $$ (\sqrt{3}-\sqrt{5})^{1000} $$

   Общий член имеет вид:

   $$ (\sqrt{3})^{1000-k}(\sqrt{5})^k $$

   Чтобы член был рациональным, показатели при корнях должны быть чётными:

   $$ 1000-k \text{ — чётное},\quad k \text{ — чётное} $$

   Значит, подходят все чётные значения $$k$$ от $$0$$ до $$1000$$. Их количество:

   $$ N=\frac{1000}{2}+1=501 $$

Ответ

1) $$ (x-1)^6=x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1 $$, $$ (x+2)^5=x^5+10x^4+40x^3+80x^2+80x+32 $$;
2) $$ 165 $$;
3) $$ 4096 $$;
4) $$ 501 $$.