Контрольная работа 6 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) cos(?-?)-2sin(?)sin(?), если ?+?=?;
б) cos^2(?)-cos(?-?)sin(?/2-?)/(ctg(?+?)tg(3?/2-?)), ???n/2, n?Z.
2. Вычислите (sin(68°)+cos(38°))^2+(sin(38°)-cos(68°))^2.
3. Известно, что cos(?)=-5/13, ? < ? < 3?/2. Вычислите: а) sin(?); б) sin(2?); в) cos(2?). 4. Постройте график функции y=(sin(3x)cos(2x)-sin(2x)cos(3x))/(cos(3x)cos(2x)+sin(3x)sin(2x)). 5*. Вычислите 2cos(37°)cos(23°)-sin(76°). 6*. Докажите справедливость равенства cos(?/7)cos(2?/7)cos(4?/7)=-1/8. 7*. Велосипедист и мотоциклист одновременно отправились навстречу друг другу из городов А и В. После встречи мотоциклист прибыл в город В через 1 ч, а велосипедист прибыл в город А через 9 ч. Во сколько раз скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста?

1. а) $$A=\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta,\quad \alpha+\beta=\pi.$$

   Используем формулу $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$ Тогда

   $$ A=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta-2\sin\alpha\sin\beta =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta. $$

   Так как $$\alpha+\beta=\pi,$$ то $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\pi=-1.$$ Следовательно,

   $$A=-1.$$

2. б) $$B=\cos^2\alpha-\frac{\cos(\pi-\alpha)\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\operatorname{ctg}(\pi+\alpha)\cdot \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}.$$

   Преобразуем выражения:

   $$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,$$

   $$\operatorname{ctg}(\pi+\alpha)=\operatorname{ctg}\alpha,\qquad \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\operatorname{ctg}\alpha.$$

   Тогда

   $$ B=\cos^2\alpha-\frac{(-\cos\alpha)\cos\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha\cdot \operatorname{ctg}\alpha} =\cos^2\alpha+\frac{\cos^2\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha}. $$

   Так как $$\dfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\alpha}=\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha},$$ то

   $$ B=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1. $$

3. $$ (\sin 68^\circ+\cos 38^\circ)^2+(\sin 38^\circ-\cos 68^\circ)^2 $$

   Раскроем скобки:

   $$ =\sin^2 68^\circ+\cos^2 38^\circ+2\sin 68^\circ\cos 38^\circ +\sin^2 38^\circ+\cos^2 68^\circ-2\sin 38^\circ\cos 68^\circ. $$

   Сгруппируем:

   $$ =(\sin^2 68^\circ+\cos^2 68^\circ)+(\sin^2 38^\circ+\cos^2 38^\circ) +2(\sin 68^\circ\cos 38^\circ-\sin 38^\circ\cos 68^\circ). $$

   $$ =1+1+2\sin(68^\circ-38^\circ)=2+2\sin 30^\circ=2+1=3. $$

4. Дано: $$\cos\alpha=-\frac{5}{13},\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$ Значит, $$\sin\alpha<0.$$

   Найдём $$\sin\alpha$$:

   $$ \sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha} =-\sqrt{1-\frac{25}{169}} =-\sqrt{\frac{144}{169}} =-\frac{12}{13}. $$

   а)

   $$\sin\alpha=-\frac{12}{13}.$$

   б)

   $$ \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha =2\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot\left(-\frac{5}{13}\right) =\frac{120}{169}. $$

   в)

   $$ \cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1 =2\cdot\frac{25}{169}-1 =\frac{50}{169}-\frac{169}{169} =-\frac{119}{169}. $$

5. $$ y=\frac{\sin 3x\cos 2x-\sin 2x\cos 3x}{\cos 3x\cos 2x+\sin 3x\sin 2x}. $$

   Используем формулы:

   $$ \sin A\cos B-\sin B\cos A=\sin(A-B), $$

   $$ \cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A-B). $$

   Тогда

   $$ y=\frac{\sin(3x-2x)}{\cos(3x-2x)}=\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{tg}x. $$

   Следовательно, график функции совпадает с графиком $$y=\operatorname{tg}x.$$

6. $$ A=2\cos 37^\circ\cos 23^\circ-\sin 76^\circ. $$

   По формуле произведения в сумму:

   $$ 2\cos 37^\circ\cos 23^\circ=\cos(37^\circ-23^\circ)+\cos(37^\circ+23^\circ) =\cos 14^\circ+\cos 60^\circ. $$

   Тогда

   $$ A=\cos 14^\circ+\cos 60^\circ-\sin 76^\circ. $$

   Так как $$\sin 76^\circ=\cos 14^\circ,$$ получаем

   $$ A=\cos 60^\circ=\frac12. $$

7. Докажем равенство:

   $$\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}=-\frac18.$$

   Используем формулу

   $$ 4\cos x\cos 2x\cos 4x=\cos 7x+\cos 3x+\cos x+\cos 5x $$

   или, что удобнее в данном случае, последовательное применение формулы двойного угла:

   $$ 8\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} =\sin\frac{8\pi}{7}. $$

   Но

   $$ \sin\frac{8\pi}{7}=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)=-\sin\frac{\pi}{7}. $$

   Значит,

   $$ 8\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} =-\sin\frac{\pi}{7}. $$

   Так как $$\sin\frac{\pi}{7}\neq 0,$$ делим на $$\sin\frac{\pi}{7}$$:

   $$ 8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}=-1, $$

   откуда

   $$ \cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}=-\frac18. $$

8. Пусть $$x$$ км/ч — скорость мотоциклиста, $$y$$ км/ч — скорость велосипедиста.

   После встречи мотоциклист ехал $$1$$ ч, а велосипедист — $$9$$ ч. Значит, до встречи мотоциклист проехал столько же, сколько велосипедист за $$9$$ часов после встречи:

   $$ x\cdot 1=9y. $$

   Следовательно,

   $$ \frac{x}{y}=9. $$

   Скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста в $$9$$ раз.

Ответ

1) а) $$-1$$; б) $$1$$. 2) $$3$$. 3) а) $$-\frac{12}{13}$$; б) $$\frac{120}{169}$$; в) $$-\frac{119}{169}$$. 4) $$y=\operatorname{tg}x$$. 5) $$\frac12$$. 6) $$\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}=-\frac18$$. 7) в $$9$$ раз.