Самостоятельная работа 9 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
2. Сколькими способами из 12 членов правления кооператива можно выбрать председателя, казначея и секретаря?
3. Сколькими способами из 15 человек можно выбрать 12 человек для участия в соревнованиях?
4. В магазине имеется 5 различных авторучек и 6 различных блокнотов. Сколькими способами можно выбрать для подарков 3 авторучки и 2 блокнота?
5. Вычислите: а) P(9); б) A(8; 5); в) C(12; 9).
6. Докажите, что для любых натуральных чисел k и n (1?k?n) справедливо равенство C(n-1; k-1)·n/k=C(n; k).
Количество восьмизначных чисел из цифр $$1,2,3,4,5,6,7,8$$ без повторений равно числу перестановок из 8 элементов:
$$P_8=8!=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=40320.$$
Выбираем председателя, казначея и секретаря из 12 членов правления. Порядок важен, значит, это размещения:
$$A_{12}^3=\frac{12!}{(12-3)!}=\frac{12!}{9!}=12\cdot 11\cdot 10=1320.$$
Из 15 человек выбираем 12 для участия в соревнованиях. Порядок не важен, значит, это сочетания:
$$C_{15}^{12}=\frac{15!}{12!\cdot 3!}=\frac{15\cdot 14\cdot 13}{3\cdot 2\cdot 1}=455.$$
Выбираем 3 авторучки из 5 и 2 блокнота из 6:
$$C_5^3\cdot C_6^2=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot \frac{6!}{2!\cdot 4!}=10\cdot 15=150.$$
Вычислим:
а) $$P_9=9!=9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=362880.$$
б) $$A_8^5=\frac{8!}{(8-5)!}=\frac{8!}{3!}=8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4=6720.$$
в) $$C_{12}^9=\frac{12!}{9!\cdot 3!}=\frac{12\cdot 11\cdot 10}{3\cdot 2\cdot 1}=220.$$
Докажем равенство:
$$C_{n-1}^{k-1}\cdot \frac{n}{k}=C_n^k,\qquad 1\le k\le n.$$
По формуле сочетаний:
$$C_{n-1}^{k-1}\cdot \frac{n}{k}=\frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}\cdot \frac{n}{k}.$$
Преобразуем:
$$\frac{(n-1)!}{(k-1)!\,(n-k)!}\cdot \frac{n}{k} =\frac{n!}{k!\,(n-k)!} =C_n^k.$$
Что и требовалось доказать.
Ответ
1) $$40320$$; 2) $$1320$$; 3) $$455$$; 4) $$150$$; 5) а) $$362880$$, б) $$6720$$, в) $$220$$; 6) $$C_{n-1}^{k-1}\cdot \frac{n}{k}=C_n^k$$.
