Контрольная работа 7 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
Решите уравнение (1—5).
- а) $$\cos(x)=1$$; б) $$\sin(x)=\frac{1}{2}$$; в) $$\operatorname{ctg}(x)=-\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
- а) $$2\sin^2(x)+\sin(x)-1=0$$; б) $$3\cos^2(x)-\sin(x)+1=0$$.
- а) $$\sqrt{3}\sin(x)-\cos(x)=0$$; б) $$\sin^2(x)+2\sqrt{3}\sin(x)\cos(x)+3\cos^2(x)=0$$.
- 4*. а) $$\sin(x)=-0{,}6$$; б) $$\cos(x)=\frac{2}{3}$$; в) $$\operatorname{tg}(x)=-4$$.
- 5*. а) $$\sin(x)+\cos(x)=-1$$; б) $$\cos(4x)-\cos^2(x)=1$$.
- 6*. Решите неравенство: а) $$\sin(x)>-0{,}5$$; б) $$\cos(x)<-0{,}5$$; в) $$\operatorname{tg}(x)?2$$.
- 7*. Из города А в город В вышел пешеход. Через некоторое время после выхода пешехода из города В в город А выехал велосипедист, а еще через час вслед за ним выехал мотоциклист. Все участники двигались равномерно и встретились в одной точке маршрута. Пешеход пришел в город В через 6 ч после выезда мотоциклиста, а мотоциклист прибыл в город А через 4 ч после выхода пешехода из города А. Через сколько часов после мотоциклиста велосипедист прибыл в город А?
а) $$\cos x=1$$
$$x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sin x=\frac12$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
в) $$\ctg x=-\frac{\sqrt3}{3}$$
$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
а) $$2\sin^2 x+\sin x-1=0$$
Положим $$y=\sin x$$. Тогда
$$2y^2+y-1=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$y_1=\frac{-1-3}{4}=-1,\qquad y_2=\frac{-1+3}{4}=\frac12.$$
1) $$\sin x=-1 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
2) $$\sin x=\frac12 \Rightarrow x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
б) $$3\cos^2 x-\sin x+1=0$$
Заменим $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:
$$3(1-\sin^2 x)-\sin x+1=0,$$
$$3\sin^2 x+\sin x-4=0.$$
Пусть $$y=\sin x$$. Тогда
$$3y^2+y-4=0.$$
$$D=1+48=49,$$
$$y_1=\frac{-1-7}{6}=-\frac43,\qquad y_2=\frac{-1+7}{6}=1.$$
Так как $$|\sin x|\le 1,$$ подходит только $$\sin x=1.$$
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$
а) $$\sqrt3\sin x-\cos x=0$$
Делим на $$\cos x$$:
$$\sqrt3\tg x-1=0,$$
$$\tg x=\frac{1}{\sqrt3}.$$
$$x=\frac{\pi}{6}+\pi n.$$
б) $$\sin^2 x+2\sqrt3\sin x\cos x+3\cos^2 x=0$$
Пусть $$y=\tg x$$. Тогда
$$y^2+2\sqrt3\,y+3=0,$$
$$\left(y+\sqrt3\right)^2=0,$$
$$y=-\sqrt3.$$
$$\tg x=-\sqrt3 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{3}+\pi n.$$
а) $$\sin x=-0{,}6=-\frac35$$
$$x=(-1)^{n+1}\arcsin 0{,}6+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$\cos x=\frac23$$
$$x=\pm\arccos\frac23+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
в) $$\tg x=-4$$
$$x=-\arctg 4+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
а) $$\sin x+\cos x=-1$$
$$\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=-1,$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$
Отсюда
$$x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n.$$
Значит,
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\pi+2\pi n.$$
б) $$\cos 4x-\cos^2 x=1$$
$$1-\cos 4x+\cos^2 x=0,$$
$$2\sin^2 2x+\cos^2 x=0.$$
Так как оба слагаемых неотрицательны, то
$$\sin 2x=0,\qquad \cos x=0.$$
Из $$\cos x=0$$ получаем
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
а) $$\sin x>-\frac12$$
$$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$
б) $$\cos x<-\frac12$$
$$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n.$$
в) $$\tg x\ge 2$$
$$\arctg 2+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n.$$
Пусть $$x$$ км — расстояние от города А до места встречи, а $$y$$ км — расстояние от места встречи до города В.
Тогда для пешехода и велосипедиста:
$$\frac{y}{x}=\frac{2}{3}.$$
Пусть велосипедист ехал до города А на $$t$$ часов дольше, чем мотоциклист после встречи. Тогда по условию
$$\frac{2}{3}=\frac{t}{t+1}.$$
Отсюда
$$3t=2t+2,$$
$$t=2.$$
Значит, велосипедист прибыл в город А через $$2$$ часа после мотоциклиста.
Ответ
1) а) $$x=2\pi n$$; б) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; в) $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$.
2) а) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$.
3) а) $$x=\frac{\pi}{6}+\pi n$$; б) $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$.
4) а) $$x=(-1)^{n+1}\arcsin 0{,}6+\pi n$$; б) $$x=\pm\arccos\frac23+2\pi n$$; в) $$x=-\arctg 4+\pi n$$.
5) а) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; x=-\pi+2\pi n$$; б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$.
6) а) $$-\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{7\pi}{6}+2\pi n$$; б) $$\frac{2\pi}{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi}{3}+2\pi n$$; в) $$\arctg 2+\pi n\le x<\frac{\pi}{2}+\pi n$$.
7) Через $$2$$ часа.
