Контрольная работа 6 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) $$A=\cos(\alpha-\beta)-2\sin\alpha\sin\beta,\quad \alpha+\beta=\pi.$$

   Используем формулу $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$ Тогда

   $$A=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta-2\sin\alpha\sin\beta =\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

   Так как $$\alpha+\beta=\pi,$$ то $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\pi=-1.$$ Следовательно,

   $$A=-1.$$

2. б) $$B=\cos^2\alpha-\frac{\cos(\pi-\alpha)\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)}{\operatorname{ctg}(\pi+\alpha)\cdot \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}.$$

   Преобразуем выражения:

   $$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,$$

   $$\operatorname{ctg}(\pi+\alpha)=\operatorname{ctg}\alpha,\qquad \operatorname{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)=\operatorname{ctg}\alpha.$$

   Тогда

   $$B=\cos^2\alpha-\frac{(-\cos\alpha)\cos\alpha}{\operatorname{ctg}\alpha\cdot \operatorname{ctg}\alpha} =\cos^2\alpha+\frac{\cos^2\alpha}{\operatorname{ctg}^2\alpha}.$$

   Так как $$\dfrac{1}{\operatorname{ctg}^2\alpha}=\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha},$$ то

   $$B=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1.$$

3. $$(\sin 68^\circ+\cos 38^\circ)^2+(\sin 38^\circ-\cos 68^\circ)^2$$

   Раскроем скобки:

   $$=\sin^2 68^\circ+\cos^2 38^\circ+2\sin 68^\circ\cos 38^\circ +\sin^2 38^\circ+\cos^2 68^\circ-2\sin 38^\circ\cos 68^\circ.$$

   Сгруппируем:

   $$=(\sin^2 68^\circ+\cos^2 68^\circ)+(\sin^2 38^\circ+\cos^2 38^\circ) +2(\sin 68^\circ\cos 38^\circ-\sin 38^\circ\cos 68^\circ).$$

   $$=1+1+2\sin(68^\circ-38^\circ)=2+2\sin 30^\circ=2+1=3.$$

4. Дано: $$\cos\alpha=-\frac{5}{13},\quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$ Значит, $$\sin\alpha<0.$$

   Найдём $$\sin\alpha$$:

   $$\sin\alpha=-\sqrt{1-\cos^2\alpha} =-\sqrt{1-\frac{25}{169}} =-\sqrt{\frac{144}{169}} =-\frac{12}{13}.$$

   а)

   $$\sin\alpha=-\frac{12}{13}.$$

   б)

   $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha =2\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)\cdot\left(-\frac{5}{13}\right) =\frac{120}{169}.$$

   в)

   $$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1 =2\cdot\frac{25}{169}-1 =\frac{50}{169}-\frac{169}{169} =-\frac{119}{169}.$$

5. $$y=\frac{\sin 3x\cos 2x-\sin 2x\cos 3x}{\cos 3x\cos 2x+\sin 3x\sin 2x}.$$

   Используем формулы:

   $$\sin A\cos B-\sin B\cos A=\sin(A-B),$$

   $$\cos A\cos B+\sin A\sin B=\cos(A-B).$$

   Тогда

   $$y=\frac{\sin(3x-2x)}{\cos(3x-2x)}=\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{tg}x.$$

   Следовательно, график функции совпадает с графиком $$y=\operatorname{tg}x.$$

6. $$A=2\cos 37^\circ\cos 23^\circ-\sin 76^\circ.$$

   По формуле произведения в сумму:

   $$2\cos 37^\circ\cos 23^\circ=\cos(37^\circ-23^\circ)+\cos(37^\circ+23^\circ) =\cos 14^\circ+\cos 60^\circ.$$

   Тогда

   $$A=\cos 14^\circ+\cos 60^\circ-\sin 76^\circ.$$

   Так как $$\sin 76^\circ=\cos 14^\circ,$$ получаем

   $$A=\cos 60^\circ=\frac12.$$

7. Докажем равенство:

   $$\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}=-\frac18.$$

   Используем формулу

   $$4\cos x\cos 2x\cos 4x=\cos 7x+\cos 3x+\cos x+\cos 5x$$

   или, что удобнее в данном случае, последовательное применение формулы двойного угла:

   $$8\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} =\sin\frac{8\pi}{7}.$$

   Но

   $$\sin\frac{8\pi}{7}=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)=-\sin\frac{\pi}{7}.$$

   Значит,

   $$8\sin\frac{\pi}{7}\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7} =-\sin\frac{\pi}{7}.$$

   Так как $$\sin\frac{\pi}{7}\neq 0,$$ делим на $$\sin\frac{\pi}{7}$$:

   $$8\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}=-1,$$

   откуда

   $$\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}=-\frac18.$$

8. Пусть $$x$$ км/ч — скорость мотоциклиста, $$y$$ км/ч — скорость велосипедиста.

   После встречи мотоциклист ехал $$1$$ ч, а велосипедист — $$9$$ ч. Значит, до встречи мотоциклист проехал столько же, сколько велосипедист за $$9$$ часов после встречи:

   $$x\cdot 1=9y.$$

   Следовательно,

   $$\frac{x}{y}=9.$$

   Скорость мотоциклиста больше скорости велосипедиста в $$9$$ раз.

Ответ

1) а) $$-1$$; б) $$1$$. 2) $$3$$. 3) а) $$-\frac{12}{13}$$; б) $$\frac{120}{169}$$; в) $$-\frac{119}{169}$$. 4) $$y=\operatorname{tg}x$$. 5) $$\frac12$$. 6) $$\cos\frac{\pi}{7}\cos\frac{2\pi}{7}\cos\frac{4\pi}{7}=-\frac18$$. 7) в $$9$$ раз.