Самостоятельная работа 8 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Докажите, что 4^(n+1)+3^(2n) делится на 5 для любого натурального числа n.
3. Докажите, что для любого натурального числа n справедливо равенство
1/(2·3)+1/(3·4)+…+1/((n+1)(n+2))=n/(2n+4).

1. Докажем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии методом математической индукции:
   $$S_n=\frac{(2a_1+(n-1)d)\cdot n}{2}.$$

   База индукции. При $$n=1$$ имеем

   $$S_1=\frac{(2a_1+0\cdot d)\cdot 1}{2}=a_1,$$

   что верно.

   Индукционный переход. Пусть для $$n=k$$ формула верна:

   $$S_k=\frac{(2a_1+(k-1)d)\cdot k}{2}.$$

   Тогда для $$n=k+1$$

   $$ S_{k+1}=S_k+a_{k+1}=S_k+(a_1+kd). $$

   Подставим предположение индукции:

   $$ S_{k+1}=\frac{(2a_1+(k-1)d)\cdot k}{2}+a_1+kd. $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ S_{k+1}=\frac{(2a_1+(k-1)d)k+2a_1+2kd}{2}. $$

   Раскроем скобки и упростим:

   $$ S_{k+1}=\frac{2a_1k+k(k-1)d+2a_1+2kd}{2} =\frac{2a_1(k+1)+k(k+1)d}{2}. $$

   Вынесем общий множитель:

   $$ S_{k+1}=\frac{(k+1)\bigl(2a_1+kd\bigr)}{2}. $$

   Это и есть формула для $$n=k+1$$. Следовательно, утверждение верно для любого натурального $$n$$.

2. Докажем, что $$4^{n+1}+3^{2n}$$ делится на $$5$$ при любом натуральном $$n$$.

   База индукции. При $$n=1$$

   $$ 4^{2}+3^{2}=16+9=25, $$

   а число $$25$$ делится на $$5$$.

   Индукционный переход. Пусть для $$n=k$$ выражение делится на $$5$$:

   $$ 4^{k+1}+3^{2k}\equiv 0 \pmod{5}. $$

   Рассмотрим случай $$n=k+1$$:

   $$ 4^{k+2}+3^{2k+2}=4\cdot 4^{k+1}+9\cdot 3^{2k}. $$

   Так как $$9=4+5$$, то

   $$ 4^{k+2}+3^{2k+2}=4\bigl(4^{k+1}+3^{2k}\bigr)+5\cdot 3^{2k}. $$

   Первое слагаемое делится на $$5$$ по предположению индукции, второе тоже делится на $$5$$. Значит, всё выражение делится на $$5$$.

   Следовательно, $$4^{n+1}+3^{2n}$$ делится на $$5$$ для любого натурального $$n$$.

3. Докажем равенство
   $$ \frac1{2\cdot 3}+\frac1{3\cdot 4}+\cdots+\frac1{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{2n+4}. $$

   База индукции. При $$n=1$$

   $$ \frac1{2\cdot 3}=\frac16,\qquad \frac{1}{2\cdot 1+4}=\frac16. $$

   Равенство верно.

   Индукционный переход. Пусть для $$n=k$$

   $$ \frac1{2\cdot 3}+\frac1{3\cdot 4}+\cdots+\frac1{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{2k+4}. $$

   Тогда для $$n=k+1$$

   $$ S=\frac{k}{2k+4}+\frac1{(k+2)(k+3)}. $$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ S=\frac{k(k+3)+2}{2(k+2)(k+3)}=\frac{k^2+3k+2}{2(k+2)(k+3)}. $$

   Разложим числитель на множители:

   $$ k^2+3k+2=(k+1)(k+2). $$

   Тогда

   $$ S=\frac{(k+1)(k+2)}{2(k+2)(k+3)}=\frac{k+1}{2(k+3)}=\frac{k+1}{2k+6}=\frac{k+1}{2(k+1)+4}. $$

   Это и требовалось доказать.

Ответ

1) Формула $$S_n=\frac{(2a_1+(n-1)d)\cdot n}{2}$$ доказана методом математической индукции.
2) $$4^{n+1}+3^{2n}$$ делится на $$5$$ при любом натуральном $$n$$.
3) $$\frac1{2\cdot 3}+\frac1{3\cdot 4}+\cdots+\frac1{(n+1)(n+2)}=\frac{n}{2n+4}$$.