Самостоятельная работа 7 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. 16x^8-8x^4+3 > 0 для любого действительного числа x.
2. (a+4)/(a+5) < (a+5)/(a+6) для любого положительного числа a.
3. (a^2+1)(a^6+1)(a^12+1)?8a^10 для любого действительного числа a.
4. а) 12/13·14/15·16/17·...·1200/1201 < 1/10;
б) 4/5·7/8·10/11·...·31/32 < 1/2.
$$16x^8-8x^4+3=(16x^8-8x^4+1)+2=(4x^4-1)^2+2.$$
Так как $$\left(4x^4-1\right)^2 \ge 0,$$ то
$$16x^8-8x^4+3 \ge 2 > 0.$$
$$\frac{a+4}{a+5}<\frac{a+5}{a+6}, \quad a>0.$$
Знаменатели положительны, поэтому можно перемножить крест-накрест:
$$ (a+4)(a+6)<(a+5)^2.$$
Раскроем скобки:
$$a^2+10a+24
что верно, так как $$24<25.$$
$$ (a^2+1)(a^6+1)(a^{12}+1)\ge 8a^{10}. $$
По неравенству $$x^2+1\ge 2x$$ при $$x\ge 0$$ получаем:
$$a^2+1\ge 2a,$$
$$a^6+1\ge 2a^3,$$
$$a^{12}+1\ge 2a^6.$$
Тогда
$$ (a^2+1)(a^6+1)(a^{12}+1)\ge 2a\cdot 2a^3\cdot 2a^6=8a^{10}. $$
а) Обозначим
$$A=\frac{12}{13}\cdot\frac{14}{15}\cdot\frac{16}{17}\cdot\dots\cdot\frac{1200}{1201}.$$
Тогда
$$B=\frac{13}{14}\cdot\frac{15}{16}\cdot\frac{17}{18}\cdot\dots\cdot\frac{1201}{1202}>0.$$
Перемножим:
$$AB=\frac{12}{14}\cdot\frac{14}{16}\cdot\frac{16}{18}\cdot\dots\cdot\frac{1200}{1202}=\frac{12}{1202}<\frac{12}{1200}=\frac{1}{100}.$$
Так как $$A
$$A^2<\frac{1}{100}, \quad A<\frac{1}{10}.$$
б) Обозначим
$$A=\frac{4}{5}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{10}{11}\cdot\dots\cdot\frac{31}{32}.$$
Тогда
$$B=\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{11}{12}\cdot\dots\cdot\frac{33}{34}>0,$$
$$C=\frac{5}{6}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{11}{12}\cdot\dots\cdot\frac{32}{33}>0.$$
Имеем
$$ABC=\frac{4}{34}\cdot\frac{7}{32}<\frac{4}{32}=\frac{1}{8}.$$
Кроме того, $$A
$$A^3<\frac{1}{8}, \quad A<\frac{1}{2}.$$
Ответ
1) $$16x^8-8x^4+3>0.$$ 2) $$\dfrac{a+4}{a+5}<\dfrac{a+5}{a+6}.$$ 3) $$\left(a^2+1\right)\left(a^6+1\right)\left(a^{12}+1\right)\ge 8a^{10}.$$ 4) а) $$\dfrac{12}{13}\cdot\dfrac{14}{15}\cdot\dots\cdot\dfrac{1200}{1201}<\dfrac{1}{10};$$ б) $$\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{7}{8}\cdot\dots\cdot\dfrac{31}{32}<\dfrac{1}{2}.$$
