Контрольная работа 5 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Вычислите:
а) $$\sin 30^\circ+\sqrt{6}\cos 45^\circ\sin 60^\circ-\operatorname{tg}30^\circ\operatorname{ctg}150^\circ+\operatorname{ctg}45^\circ$$;
б) $$\cos\frac{\pi}{3}-\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{4}+\sqrt{3}\operatorname{tg}\frac{\pi}{3}$$. - Упростите выражение:
а) $$\frac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{\sin^2(-\alpha)},\quad \alpha\ne\pi n,\ n\in\mathbb{Z}$$;
б) $$\sin(3\alpha+\pi)+\cos(\alpha-\pi)-\sin(-\alpha)+\cos(-\alpha)$$. - Вычислите:
а) $$(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha)^2+4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$;
б) $$\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{ctg}\alpha$$, если $$\sin\alpha\cos\alpha=0{,}3$$. - Найдите все такие углы $$\alpha$$, для каждого из которых выполняется равенство:
а) $$\sin\alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
б) $$\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
в) $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}$$;
г) $$\operatorname{ctg}\alpha=-\sqrt{3}$$. - Вычислите:
а) $$\operatorname{tg}^2\alpha+\operatorname{ctg}^2\alpha$$, если $$\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{ctg}\alpha=4$$;
б) $$1-\frac{2}{\operatorname{tg}\alpha+\operatorname{ctg}\alpha}$$, если $$\cos\alpha-\sin\alpha=-\frac{1}{3}$$. - Вычислите $$\arcsin(1)-\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}{\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})}$$.
- Некоторое расстояние планировали проехать с постоянной скоростью, а проехали расстояние на 40% большее и со скоростью на 60% большей. На сколько процентов время движения оказалось меньше запланированного?
1.
а) $$\sin 30^\circ+\sqrt6\cos 45^\circ\sin 60^\circ-\tg 30^\circ\ctg 150^\circ+\ctg 45^\circ$$
$$=\frac12+\sqrt6\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac1{\sqrt3}\cdot(-\sqrt3)+1$$
$$=\frac12+\frac{6}{4}+1=\frac12+\frac32+1=4.$$
б) $$\cos\frac{\pi}{3}-\sqrt2\sin\frac{3\pi}{4}+\sqrt3\tg\frac{\pi}{3}$$
$$=\frac12-\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2}+\sqrt3\cdot\sqrt3$$
$$=\frac12-1+3=\frac12+2=\frac52.$$
2.
а) $$\frac{(1-\cos\alpha)(1+\cos\alpha)}{\sin^2(-\alpha)}$$
$$=\frac{1-\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}=\frac{\sin^2\alpha}{\sin^2\alpha}=1.$$
б) $$\sin(3\pi+\alpha)+\cos(\pi-\alpha)-\sin(-\alpha)+\cos(-\alpha)$$
$$=-\sin\alpha-\cos\alpha+\sin\alpha+\cos\alpha=0.$$
3.
а) $$\left(\sin^2\alpha-\cos^2\alpha\right)^2+4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$
$$=\sin^4\alpha-2\sin^2\alpha\cos^2\alpha+\cos^4\alpha+4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$$
$$=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)^2=1.$$
б) $$\tg\alpha+\ctg\alpha,\quad \sin\alpha\cos\alpha=0{,}3$$
$$\tg\alpha+\ctg\alpha=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{1}{0{,}3}=\frac{10}{3}.$$
4.
а) $$\sin\alpha=-\frac{\sqrt3}{2},\quad \alpha=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
б) $$\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2},\quad \alpha=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
в) $$\tg\alpha=\frac{\sqrt3}{3},\quad \alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
г) $$\ctg\alpha=-\sqrt3,\quad \alpha=-\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$
5.
а) $$\tg^2\alpha+\ctg^2\alpha,\quad \tg\alpha+\ctg\alpha=4$$
$$\tg^2\alpha+\ctg^2\alpha=(\tg\alpha+\ctg\alpha)^2-2\tg\alpha\ctg\alpha$$
$$=4^2-2=14.$$
б) $$1-\frac{2}{\tg\alpha+\ctg\alpha},\quad \cos\alpha-\sin\alpha=-\frac13$$
$$\left(\cos\alpha-\sin\alpha\right)^2=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha$$
$$\frac19=1-2\sin\alpha\cos\alpha,$$
откуда $$\sin\alpha\cos\alpha=\frac49.$$
Тогда
$$\tg\alpha+\ctg\alpha=\frac{1}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac94,$$
и
$$1-\frac{2}{\tg\alpha+\ctg\alpha}=1-\frac{2}{9/4}=1-\frac89=\frac19.$$
6.
$$\arcsin 1-\arccos\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\arctg\left(-\frac{\sqrt3}{3}\right)}{\arcctg(-\sqrt3)}$$
$$=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}-\frac{-\pi/6}{5\pi/6}$$
$$=\frac{\pi}{3}+\frac15=\frac{5\pi+3}{15}.$$
7.
Пусть планируемое расстояние равно $$y$$, а планируемая скорость — $$x$$. Тогда запланированное время
$$t=\frac{y}{x}.$$
Фактически проехали $$1{,}4y$$ со скоростью $$1{,}6x$$, значит
$$t_1=\frac{1{,}4y}{1{,}6x}=\frac{7y}{8x}=\frac78\,t.$$
Следовательно, время уменьшилось на
$$\left(1-\frac78\right)\cdot100\%=12{,}5\%.$$
Ответ
1) а) $$4$$; б) $$\frac52$$. 2) а) $$1$$; б) $$0$$. 3) а) $$1$$; б) $$\frac{10}{3}$$. 4) а) $$\alpha=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{3}+\pi n$$; б) $$\alpha=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n$$; в) $$\alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n$$; г) $$\alpha=-\frac{\pi}{6}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$. 5) а) $$14$$; б) $$\frac19$$. 6) $$\frac{5\pi+3}{15}$$. 7) $$12{,}5\%$$.
