Самостоятельная работа 6 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) x^4-13x^2+36=0;
б) (x+93)^2+35(x+93)+150=0;
в) (2x^2-3x)^2+7(2x^2-3x)-18=0;
г) (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)=3.
2. а) 2x^2-3x-16+28/(2x^2-3x)=0;
б) (x^2-4x+1)/(x^2+x-1)+9·(x^2+x-1)/(x^2-4x+1)=6.
1а) Пусть $$y=x^2$$. Тогда получаем:
$$y^2-13y+36=0$$
$$D=13^2-4\cdot 36=169-144=25$$
$$y_1=\frac{13-5}{2}=4,\quad y_2=\frac{13+5}{2}=9$$
Тогда:
$$x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2$$
$$x^2=9 \Rightarrow x=\pm 3$$
Ответ: $$-3;\,-2;\,2;\,3$$
1б) Пусть $$y=x+93$$. Тогда:
$$y^2+35y+150=0$$
$$D=35^2-4\cdot 150=1225-600=625$$
$$y_1=\frac{-35-25}{2}=-30,\quad y_2=\frac{-35+25}{2}=-5$$
Следовательно,
$$x=-30-93=-123,\quad x=-5-93=-98$$
Ответ: $$-123;\,-98$$
1в) Пусть $$y=2x^2-3x$$. Тогда:
$$y^2+7y-18=0$$
$$D=7^2+4\cdot 18=49+72=121$$
$$y_1=\frac{-7-11}{2}=-9,\quad y_2=\frac{-7+11}{2}=2$$
1) $$2x^2-3x=-9 \Rightarrow 2x^2-3x+9=0$$
$$D=3^2-4\cdot 2\cdot 9=9-72<0$$
Действительных корней нет.
2) $$2x^2-3x=2 \Rightarrow 2x^2-3x-2=0$$
$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=9+16=25$$
$$x_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\quad x_2=\frac{3+5}{4}=2$$
Ответ: $$-\frac12;\,2$$
1г) Обозначим:
$$y=x^2+9x$$
Тогда
$$ (x+3)(x+4)(x+5)(x+6)=3 $$
$$ (x^2+9x+18)(x^2+9x+20)=3 $$
$$ (y+18)(y+20)=3 $$
$$ y^2+38y+360=3 $$
$$ y^2+38y+357=0 $$
$$ D=38^2-4\cdot 357=1444-1428=16 $$
$$ y_1=\frac{-38-4}{2}=-21,\quad y_2=\frac{-38+4}{2}=-17 $$
1) $$x^2+9x=-21 \Rightarrow x^2+9x+21=0$$
$$D=9^2-4\cdot 21=81-84<0$$
Действительных корней нет.
2) $$x^2+9x=-17 \Rightarrow x^2+9x+17=0$$
$$D=9^2-4\cdot 17=81-68=13$$
$$x_{1,2}=\frac{-9\pm \sqrt{13}}{2}$$
Ответ: $$\frac{-9-\sqrt{13}}{2};\ \frac{-9+\sqrt{13}}{2}$$
2а) Пусть $$y=2x^2-3x$$. Тогда:
$$y-16+\frac{28}{y}=0,\quad y\ne 0$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-16y+28=0$$
$$D=16^2-4\cdot 28=256-112=144$$
$$y_1=\frac{16-12}{2}=2,\quad y_2=\frac{16+12}{2}=14$$
1) $$2x^2-3x=2 \Rightarrow 2x^2-3x-2=0$$
$$x=-\frac12,\ 2$$
2) $$2x^2-3x=14 \Rightarrow 2x^2-3x-14=0$$
$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 14=9+112=121$$
$$x_1=\frac{3-11}{4}=-2,\quad x_2=\frac{3+11}{4}=\frac72$$
Ответ: $$-2;\,-\frac12;\,2;\,\frac72$$
2б) Пусть
$$y=\frac{x^2-4x+1}{x^2+x-1},\quad y\ne 0$$
Тогда
$$y+\frac{9}{y}=6$$
Умножим на $$y$$:
$$y^2-6y+9=0$$
$$ (y-3)^2=0,\quad y=3 $$
Значит,
$$\frac{x^2-4x+1}{x^2+x-1}=3$$
$$x^2-4x+1=3(x^2+x-1)$$
$$x^2-4x+1=3x^2+3x-3$$
$$2x^2+7x-4=0$$
$$D=7^2-4\cdot 2\cdot (-4)=49+32=81$$
$$x_1=\frac{-7-9}{4}=-4,\quad x_2=\frac{-7+9}{4}=\frac12$$
Проверка ОДЗ: $$x^2+x-1\ne 0$$, при найденных значениях знаменатель не обращается в ноль.
Ответ: $$-4;\,\frac12$$
