Самостоятельная работа 5 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) (x^2-25)/(x^3+4x^2+25)=0; б) (x-1)/(x-3)-3/(x-2)=1.
2. а) x/(x-2)-(3x-8)/(x^2-5x+6)=0; б) (x+1)^2/(x-1)-20/(x^2+3x-4)+(x+1)/(x+4)=x+1.
3. (x^2-3x)/(x-6)-16/(x+5)-186/(x^2-x-30)=x+2.
а) $$\frac{x^2-25}{x^3+4x^2+25}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2-25=0$$
$$x=\pm 5$$
Проверим знаменатель:
$$x^3+4x^2+25\big|_{x=-5}=-125+100+25=0$$
$$x^3+4x^2+25\big|_{x=5}=125+100+25=250\neq 0$$
Подходит только $$x=5$$.
б) $$\frac{x-1}{x-3}-\frac{3}{x-2}=1$$
ОДЗ: $$x\neq 2,\; x\neq 3$$.
Умножим уравнение на $$ (x-2)(x-3) $$:
$$ (x-2)(x-1)-3(x-3)=(x-2)(x-3) $$
$$ x^2-3x+2-3x+9=x^2-5x+6 $$
$$ x^2-6x+11=x^2-5x+6 $$
$$ -x=-5 $$
$$ x=5 $$
а) $$\frac{x}{x-2}-\frac{3x-8}{x^2-5x+6}=0$$
ОДЗ: $$x\neq 2,\; x\neq 3$$, так как $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$.
Умножим на $$ (x-2)(x-3) $$:
$$ x(x-3)-(3x-8)=0 $$
$$ x^2-3x-3x+8=0 $$
$$ x^2-6x+8=0 $$
$$ (x-2)(x-4)=0 $$
$$ x=2 \text{ или } x=4 $$
С учётом ОДЗ подходит только $$x=4$$.
б) $$\frac{(x+1)^2}{x-1}-\frac{20}{x^2+3x-4}+\frac{x+1}{x+4}=x+1$$
ОДЗ: $$x\neq 1,\; x\neq -4$$, так как $$x^2+3x-4=(x-1)(x+4)$$.
Умножим на $$ (x-1)(x+4) $$:
$$ (x+1)^2(x+4)-20+(x+1)(x-1)=(x+1)(x-1)(x+4) $$
После раскрытия скобок получаем:
$$ 3x^2+10x-13=0 $$
$$ D=10^2-4\cdot 3\cdot(-13)=100+156=256 $$
$$ x=\frac{-10\pm 16}{6} $$
$$ x_1=-\frac{13}{3},\quad x_2=1 $$
Число $$x=1$$ не подходит по ОДЗ, значит решение:
$$ x=-\frac{13}{3} $$
$$\frac{x^2-3x}{x-6}-\frac{16}{x+5}-\frac{186}{x^2-x-30}=x+2$$
ОДЗ: $$x\neq 6,\; x\neq -5$$, так как $$x^2-x-30=(x-6)(x+5)$$.
Умножим на $$ (x-6)(x+5) $$:
$$ (x^2-3x)(x+5)-16(x-6)-186=(x+2)(x^2-x-30) $$
$$ x^3+2x^2-15x-16x+96-186=x^3+x^2-32x-60 $$
$$ x^3+2x^2-31x-90=x^3+x^2-32x-60 $$
$$ x^2+x-30=0 $$
$$ (x+6)(x-5)=0 $$
$$ x=-6 \text{ или } x=5 $$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ
1) а) $$5$$; б) $$5$$.
2) а) $$4$$; б) $$-\frac{13}{3}$$.
3) $$-6,\; 5$$.
