Самостоятельная работа 45 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. {3x+2y=3, 3^y-2·3^((x-1)/2+y)=9}.
2. {(4x-5y)/(5x-7y)+10x-14y=4, 4·5^(5x-7y)+5=5^(10x-8y)}.
3. {3sin(x)+2cos(y)=0,5, 2sin(x)-3cos(y)=-4}.
4. {3/v(x-1)+2/v(y+2)=12, 5/v(x-1)-3/v(y+2)=1}.
Из первого уравнения:
$$3x+2y=3,$$
$$x=\frac{3-2y}{3}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$3^y-2\cdot 3^{\frac{x-1}{2}+y}=9.$$
Так как
$$\frac{x-1}{2}+y=\frac{\frac{3-2y}{3}-1}{2}+y=\frac{2y}{3},$$
получаем
$$3^y-2\cdot 3^{\frac{2y}{3}}=9.$$
Пусть $$t=3^{\frac{y}{3}}$$, тогда $$3^y=t^3$$, $$3^{\frac{2y}{3}}=t^2$$. Имеем:
$$t^3-2t^2=9.$$
Проверяем целые значения: при $$t=3$$ получаем
$$27-18=9.$$
Значит, $$t=3$$, то есть $$3^{\frac{y}{3}}=3$$, откуда $$y=3$$.
Тогда
$$x=\frac{3-2\cdot 3}{3}=-1.$$
Пусть $$t=5x-7y.$$ Тогда система принимает вид:
$$\frac{4x-5y}{5x-7y}+10x-14y=4,$$
$$4\cdot 5^{5x-7y}+5=5^{10x-14y}.$$
Из второго уравнения:
$$4\cdot 5^t+5=5^{2t}.$$
Пусть $$z=5^t$$, тогда
$$z^2-4z-5=0,$$
$$z=5 \text{ или } z=-1.$$
Так как $$z=5^t>0$$, то $$z=5$$, значит $$t=1$$, то есть
$$5x-7y=1.$$
Первое уравнение:
$$\frac{4x-5y}{5x-7y}+10x-14y=4,$$
$$4x-5y+2=4,$$
$$4x-5y=2.$$
Решаем систему
$$ \begin{cases} 4x-5y=2,\\ 5x-7y=1. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на 5, второе на 4:
$$ \begin{cases} 20x-25y=10,\\ 20x-28y=4. \end{cases} $$
Вычитаем:
$$3y=6,\quad y=2.$$
Тогда
$$4x-5\cdot 2=2,\quad 4x=12,\quad x=3.$$
Сложим уравнения системы:
$$ \begin{cases} 3\sin x+2\cos y=0{,}5,\\ 2\sin x-3\cos y=-4. \end{cases} $$
Получаем:
$$5\sin x-\cos y=-3{,}5.$$
Умножим первое уравнение на 3, второе на 2 и сложим:
$$ \begin{cases} 9\sin x+6\cos y=1{,}5,\\ 4\sin x-6\cos y=-8. \end{cases} $$
$$13\sin x=-6{,}5,$$
$$\sin x=-\frac12.$$
Отсюда
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Подставим в первое уравнение:
$$3\left(-\frac12\right)+2\cos y=\frac12,$$
$$2\cos y=2,$$
$$\cos y=1,$$
$$y=2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Пусть
$$a=\frac{1}{\sqrt{x-1}},\quad b=\frac{1}{\sqrt{y+2}}.$$
Тогда система имеет вид:
$$ \begin{cases} 3a+2b=12,\\ 5a-3b=1. \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на 3, второе на 2:
$$ \begin{cases} 9a+6b=36,\\ 10a-6b=2. \end{cases} $$
Сложим:
$$19a=38,\quad a=2.$$
Тогда
$$\frac{1}{\sqrt{x-1}}=2,\quad \sqrt{x-1}=\frac12,$$
$$x-1=\frac14,\quad x=\frac54.$$
Из второго уравнения:
$$5\cdot 2-3b=1,\quad 3b=9,\quad b=3.$$
Значит,
$$\frac{1}{\sqrt{y+2}}=3,\quad \sqrt{y+2}=\frac13,$$
$$y+2=\frac19,\quad y=-\frac{17}{9}.$$
Ответ
1) $$(-1;\,3)$$; 2) $$ (3;\,2) $$; 3) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ y=2\pi k,\ n,k\in\mathbb Z$$; 4) $$\left(\frac54;\,-\frac{17}{9}\right)$$.
