Контрольная работа 2 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Верно ли равенство: а) $$(4^{10})^{\frac{1}{10}}=4$$; б) $$((-5)^{10})^{\frac{1}{10}}=5$$; в) $$(6^{10})^{\frac{1}{10}}=-6$$; г) $$((-7)^{10})^{\frac{1}{10}}=-7$$?
- Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби: а) $$\frac{5}{4^{\frac{1}{3}}}$$; б) $$\frac{6^{\frac{1}{3}}}{6^{\frac{1}{3}}+1}$$; в) $$\frac{3}{49^{\frac{1}{3}}+7^{\frac{1}{3}}+1}$$.
- Вычислите: а) $$(2002^2+2\cdot2002\cdot498+498^2)^{\frac{1}{4}}$$; б) $$(2001^3-3\cdot2001^2\cdot189+3\cdot2001\cdot189^2-189^3)^{\frac{1}{3}}$$.
- Упростите выражение $$(a^{\frac{1}{6}}-b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}}+(ab)^{\frac{1}{6}}+b^{\frac{1}{3}})(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$.
- Вычислите $$75^{\frac{1}{3}}-3^{\frac{1}{3}}\cdot(5^{\frac{1}{3}})^2+\frac{13}{49^{\frac{1}{3}}-42^{\frac{1}{3}}+36^{\frac{1}{3}}}-49^{\frac{1}{6}}-36^{\frac{1}{6}}$$.
- Найдите значение выражения $$(x(x\sqrt{x})^{\frac{1}{4}})^{\frac{1}{3}}$$ при $$x=(125^8)^{\frac{1}{11}}$$.
- Моторная лодка проходит расстояние между пристанями А и В по течению реки за 20 мин, а против течения за 1 ч. Во сколько раз собственная скорость моторной лодки больше скорости течения реки?
Используем свойство степени с натуральным показателем и корня чётной степени:
$$\sqrt[10]{4^{10}}=4,$$
$$\sqrt[10]{(-5)^{10}}=5,$$
$$\sqrt[10]{6^{10}}=6,$$
$$\sqrt[10]{(-7)^{10}}=7.$$Значит, верны равенства а) и б), неверны в) и г).
Рационализируем знаменатели:
$$\frac{5}{\sqrt[3]{4}}=\frac{5}{\sqrt[3]{2^2}}=\frac{5\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}}=\frac{5\sqrt[3]{2}}{2},$$
$$\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+1}=\frac{\sqrt[3]{6}\,(\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{6}+1)}{(\sqrt[3]{6}+1)(\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{6}+1)}=\frac{6-\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{6}}{7},$$
$$\frac{3}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}+1}=\frac{3(\sqrt[3]{7}-1)}{(\sqrt[3]{7}-1)(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}+1)}=\frac{\sqrt[3]{7}-1}{2}.$$$$\sqrt[4]{2002^2+2\cdot 2002\cdot 498+498^2}=\sqrt[4]{(2002+498)^2}=\sqrt[4]{2500^2}=\sqrt{2500}=50,$$
$$\sqrt[3]{2001^3-3\cdot 2001^2\cdot 189+3\cdot 2001\cdot 189^2-189^3}=\sqrt[3]{(2001-189)^3}=\sqrt[3]{1812^3}=1812.$$
$$\left(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b}\right)(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$$=\left(\sqrt[6]{a^3}-\sqrt[6]{b^3}\right)(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
$$=a-b.$$$$\sqrt[3]{75}-\sqrt[3]{3}\cdot \left(\sqrt[3]{5}\right)^2+\frac{13}{\sqrt[3]{49}-\sqrt[3]{42}+\sqrt[3]{36}}-\sqrt[6]{49}-\sqrt[6]{36}$$
$$=\sqrt[3]{3\cdot 25}-\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{25}+\frac{13(\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{6})}{7+6}-\sqrt[6]{7^2}-\sqrt[6]{6^2}$$
$$=\sqrt[3]{3\cdot 25}-\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{6}=0.$$$$\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\sqrt{x}}}=\sqrt[3]{x\cdot \sqrt[4]{x\cdot x^{1/2}}}=\sqrt[3]{x\cdot \sqrt[4]{x^{3/2}}}$$
$$=\sqrt[3]{x\cdot x^{3/8}}=\sqrt[3]{x^{11/8}}.$$
При $$x=\sqrt[11]{125^8}$$ получаем:
$$\sqrt[3]{x^{11/8}}=\sqrt[3]{\left(\sqrt[11]{125^8}\right)^{11/8}}=\sqrt[3]{125}=5.$$
Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость лодки, $$y$$ км/ч — скорость течения.
Тогда:
$$20(x+y)=60(x-y).$$
$$20x+20y=60x-60y,$$
$$80y=40x,$$
$$x=2y.$$Значит, собственная скорость лодки в 2 раза больше скорости течения.
Ответ
1) а), б); 2) $$\frac{5\sqrt[3]{2}}{2},\ \frac{6-\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{6}}{7},\ \frac{\sqrt[3]{7}-1}{2}$$; 3) $$50,\ 1812$$; 4) $$a-b$$; 5) $$0$$; 6) $$5$$; 7) в 2 раза.
