Самостоятельная работа 44 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. sin(x)+v3cos(x)=1.
2. 5sin(x)+4sin(x)cos(x)+5cos(x)=-5.
Решите неравенство (3—4).
3. 2v3cos^2(x)+2sin(x)cos(x) > v3.
4. sin(x)-cos(x)-2sin(x)cos(x) < 1. 5. Определите все a, при каждом из которых уравнение 12sin(x)-5cos(x)=a+3 имеет хотя бы одно решение.

1. $$\sin x+\sqrt3\cos x=1.$$

   Представим левую часть в виде одной синусоиды:

   $$2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt3}{2}\cos x\right)=1,$$

   $$\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{3}\cos x=\frac12,$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

   Тогда

   $$x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{3}=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,$$

   откуда

   $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. $$5\sin x+4\sin x\cos x+5\cos x=-5.$$

   Обозначим $$y=\sin x+\cos x.$$ Тогда

   $$y^2=1+2\sin x\cos x,\qquad 2\sin x\cos x=y^2-1.$$

   Подставим в уравнение:

   $$5y+2(y^2-1)=-5,$$

   $$2y^2+5y+3=0,$$

   $$D=25-24=1,$$

   $$y_1=\frac{-5-1}{4}=-\frac32,\qquad y_2=\frac{-5+1}{4}=-1.$$

   1) $$\sin x+\cos x=-\frac32$$ — решений нет, так как $$|\sin x+\cos x|\le \sqrt2.$$

   2) $$\sin x+\cos x=-1.$$ Тогда

   $$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1,$$

   $$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Следовательно,

   $$x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2\pi n,$$

   то есть

   $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$2\sqrt3\cos^2 x+2\sin x\cos x>\sqrt3.$$

   Используем формулы $$2\cos^2 x=1+\cos 2x$$ и $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

   $$\sqrt3(2\cos^2 x-1)+\sin 2x>0,$$

   $$\sqrt3\cos 2x+\sin 2x>0.$$

   Представим в виде одной косинусоиды:

   $$2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x+\frac12\sin 2x\right)>0,$$

   $$\cos\frac{\pi}{6}\cos 2x+\sin\frac{\pi}{6}\sin 2x>0,$$

   $$\cos\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)>0.$$

   Тогда

   $$-\frac{\pi}{2}+2\pi n<2x-\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n<2x<\frac{2\pi}{3}+2\pi n,$$

   $$-\frac{\pi}{6}+\pi n

4. $$\sin x-\cos x-2\sin x\cos x<1.$$

   Обозначим $$y=\sin x-\cos x.$$ Тогда

   $$y^2=1-2\sin x\cos x,\qquad 2\sin x\cos x=1-y^2.$$

   Подставим:

   $$y-(1-y^2)<1,$$

   $$y^2+y-2<0,$$

   $$ (y+2)(y-1)<0,$$

   откуда

   $$-2

   Так как $$y=\sin x-\cos x=\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right),$$ получаем

   $$-2<\sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<1.$$

   Левая часть выполняется при любых $$x$$, а из правой части имеем

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)<\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Отсюда

   $$x-\frac{\pi}{4}\in\left(-\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\frac{\pi}{4}+2\pi n\right),$$

   то есть

   $$x\in\left(-\pi+2\pi n,\frac{\pi}{2}+2\pi n\right),\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$12\sin x-5\cos x=a+3.$$

   Найдём амплитуду левой части:

   $$A=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{144+25}=13.$$

   Тогда

   $$12\sin x-5\cos x=13\sin(x-t),$$

   где $$\cos t=\frac{12}{13},\ \sin t=\frac{5}{13}.$$

   Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда

   $$-13\le a+3\le 13.$$

   Следовательно,

   $$-16\le a\le 10.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
2) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ \pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
3) $$-\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
4) $$-\pi+2\pi n<x<\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$
5) $$a\in[-16;10]$$