Самостоятельная работа 43 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) sin(x) > -v2/2; б) cos(x) < v3/2; в) tg(x) > v3/3.
2. а) sin(3x-2?/3)?1/2; б) cos(2x+3?/4)?-v2/2.
3. 4cos^2(x)-(2v2-2)sin(x) > 4-v2.
4. Определите все a, при каждом из которых неравенство
5sin(x)+12cos(x)?a-1 не имеет решений.

1. а) $$\sin x>-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Значения синуса больше $$-\frac{\sqrt2}{2}$$ на промежутках

   $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   б) $$\cos x<\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   в) $$\tg x>\frac{\sqrt3}{3}.$$

   Так как $$\frac{\sqrt3}{3}=\tg\frac{\pi}{6},$$ получаем

   $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. а) $$\sin\left(3x-\frac{2\pi}{3}\right)\ge \frac12.$$

   Положим $$y=3x-\frac{2\pi}{3}.$$ Тогда

   $$\sin y\ge \frac12,$$

   откуда

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le y\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$ \frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3x-\frac{2\pi}{3}\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n $$
   $$ \frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 3x\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n $$
   $$ \frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z. $$

   б) $$\cos\left(2x+\frac{3\pi}{4}\right)\le -\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Положим $$y=2x+\frac{3\pi}{4}.$$ Тогда

   $$\cos y\le -\frac{\sqrt2}{2},$$

   значит

   $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le y\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$ \frac{3\pi}{4}+2\pi n\le 2x+\frac{3\pi}{4}\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n $$
   $$ 2\pi n\le 2x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n $$
   $$ \pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

3. $$4\cos^2 x-(2\sqrt2-2)\sin x>4-\sqrt2.$$

   Положим $$y=\sin x$$. Тогда $$\cos^2 x=1-y^2,$$ и неравенство принимает вид

   $$ 4(1-y^2)-(2\sqrt2-2)y>4-\sqrt2 $$
   $$ 4y^2+(2\sqrt2-2)y-\sqrt2<0. $$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$ D=(2\sqrt2-2)^2+16\sqrt2=(2\sqrt2+2)^2, $$
   $$ y_1=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad y_2=\frac12. $$

   Так как старший коэффициент положителен, то

   $$-\frac{\sqrt2}{2}<y<\frac12.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$ -\frac{\sqrt2}{2}<\sin x<\frac12, $$
   $$ -\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n, \quad \frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n, \quad n\in\mathbb Z. $$

4. Найти все $$a,$$ при которых неравенство

   $$5\sin x+12\cos x\le a-1$$

   не имеет решений.

   Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

   $$ \sqrt{5^2+12^2}=13, $$
   $$ 5\sin x+12\cos x=13\sin(x+t), $$
   где $$\cos t=\frac{5}{13},\ \sin t=\frac{12}{13}.$$

   Тогда

   $$13\sin(x+t)\le a-1.$$

   Чтобы решений не было, правая часть должна быть меньше минимального значения левой части, то есть

   $$ \frac{a-1}{13}<-1. $$

   Отсюда

   $$a-1<-13,\qquad a<-12.$$

Ответ

1) а) $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.

2) а) $$\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.

3) $$\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$a<-12.$$