Самостоятельная работа 42 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. 2sin(x)+3cos(x)=0.
2. v3sin(2x)-cos(2x)=0.
3. sin^2(x)-5sin(x)cos(x)+4cos^2(x)=0.
4. 3cos^2(x)+5sin(x)cos(x)=-1.
5. Определите все a, при каждом из которых уравнение
sin^2(x)+5sin(x)cos(x)+a cos^2(x) не имеет решения.

1. $$2\sin x+3\cos x=0$$

   При $$\cos x\neq 0$$ разделим на $$\cos x$$:

   $$2\tg x+3=0,$$

   $$\tg x=-\frac{3}{2}.$$

   Тогда

   $$x=-\arctg \frac{3}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=0$$

   При $$\cos 2x\neq 0$$ разделим на $$\cos 2x$$:

   $$\sqrt{3}\tg 2x-1=0,$$

   $$\tg 2x=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

   Следовательно,

   $$2x=\frac{\pi}{6}+\pi n,$$

   $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$\sin^2 x-5\sin x\cos x+4\cos^2 x=0$$

   При $$\cos x\neq 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$\tg^2 x-5\tg x+4=0.$$

   Обозначим $$y=\tg x$$. Тогда

   $$y^2-5y+4=0,$$

   $$D=25-16=9,$$

   $$y_1=\frac{5-3}{2}=1,\qquad y_2=\frac{5+3}{2}=4.$$

   Значит,

   $$\tg x=1 \quad \text{или} \quad \tg x=4.$$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad x=\arctg 4+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$3\cos^2 x+5\sin x\cos x=-1$$

   Перенесём $$-1$$ в левую часть и заменим $$-1$$ на $$-\sin^2 x-\cos^2 x$$:

   $$3\cos^2 x+5\sin x\cos x+\sin^2 x+\cos^2 x=0,$$

   $$\sin^2 x+5\sin x\cos x+4\cos^2 x=0.$$

   При $$\cos x\neq 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$\tg^2 x+5\tg x+4=0.$$

   Обозначим $$y=\tg x$$. Тогда

   $$y^2+5y+4=0,$$

   $$D=25-16=9,$$

   $$y_1=\frac{-5-3}{2}=-4,\qquad y_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$$

   Следовательно,

   $$\tg x=-4 \quad \text{или} \quad \tg x=-1.$$

   Отсюда

   $$x=-\arctg 4+\pi n,\quad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

5. $$\sin^2 x+5\sin x\cos x+a\cos^2 x=0$$

   При $$\cos x\neq 0$$ разделим на $$\cos^2 x$$:

   $$\tg^2 x+5\tg x+a=0.$$

   Обозначим $$y=\tg x$$. Тогда

   $$y^2+5y+a=0.$$

   Чтобы уравнение не имело решений, квадратное уравнение по $$y$$ не должно иметь действительных корней:

   $$D=25-4a<0.$$

   Отсюда

   $$a>\frac{25}{4}.$$

Ответ

1) $$x=-\arctg \frac{3}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$;
2) $$x=\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}$$;
3) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ x=\arctg 4+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$;
4) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ x=-\arctg 4+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$;
5) $$a>\frac{25}{4}$$.