Самостоятельная работа 7 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. $$16x^8-8x^4+3=(16x^8-8x^4+1)+2=(4x^4-1)^2+2.$$

   Так как $$\left(4x^4-1\right)^2 \ge 0,$$ то

   $$16x^8-8x^4+3 \ge 2 > 0.$$

2. $$\frac{a+4}{a+5}<\frac{a+5}{a+6}, \quad a>0.$$

   Знаменатели положительны, поэтому можно перемножить крест-накрест:

   $$(a+4)(a+6)<(a+5)^2.$$

   Раскроем скобки:

   $$a^2+10a+24

   что верно, так как $$24<25.$$

3. $$(a^2+1)(a^6+1)(a^{12}+1)\ge 8a^{10}.$$

   По неравенству $$x^2+1\ge 2x$$ при $$x\ge 0$$ получаем:

   $$a^2+1\ge 2a,$$

   $$a^6+1\ge 2a^3,$$

   $$a^{12}+1\ge 2a^6.$$

   Тогда

   $$(a^2+1)(a^6+1)(a^{12}+1)\ge 2a\cdot 2a^3\cdot 2a^6=8a^{10}.$$

4. а) Обозначим

   $$A=\frac{12}{13}\cdot\frac{14}{15}\cdot\frac{16}{17}\cdot\dots\cdot\frac{1200}{1201}.$$

   Тогда

   $$B=\frac{13}{14}\cdot\frac{15}{16}\cdot\frac{17}{18}\cdot\dots\cdot\frac{1201}{1202}>0.$$

   Перемножим:

   $$AB=\frac{12}{14}\cdot\frac{14}{16}\cdot\frac{16}{18}\cdot\dots\cdot\frac{1200}{1202}=\frac{12}{1202}<\frac{12}{1200}=\frac{1}{100}.$$

   Так как $$A

   $$A^2<\frac{1}{100}, \quad A<\frac{1}{10}.$$

   б) Обозначим

   $$A=\frac{4}{5}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{10}{11}\cdot\dots\cdot\frac{31}{32}.$$

   Тогда

   $$B=\frac{6}{7}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{11}{12}\cdot\dots\cdot\frac{33}{34}>0,$$

   $$C=\frac{5}{6}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{11}{12}\cdot\dots\cdot\frac{32}{33}>0.$$

   Имеем

   $$ABC=\frac{4}{34}\cdot\frac{7}{32}<\frac{4}{32}=\frac{1}{8}.$$

   Кроме того, $$A

   $$A^3<\frac{1}{8}, \quad A<\frac{1}{2}.$$

Ответ

1) $$16x^8-8x^4+3>0.$$ 2) $$\dfrac{a+4}{a+5}<\dfrac{a+5}{a+6}.$$ 3) $$\left(a^2+1\right)\left(a^6+1\right)\left(a^{12}+1\right)\ge 8a^{10}.$$ 4) а) $$\dfrac{12}{13}\cdot\dfrac{14}{15}\cdot\dots\cdot\dfrac{1200}{1201}<\dfrac{1}{10};$$ б) $$\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{7}{8}\cdot\dots\cdot\dfrac{31}{32}<\dfrac{1}{2}.$$