Самостоятельная работа 41 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. 2cos^2(?x)+sin(?x)-1=0. 2. sin^4(x)+cos^4(x)-cos(2x)=0,5.
3. cos(2x)+3sin(x)+1=0. 4. cos(1,5?-2x)-cos(x)=0.
5. cos(2x+?/4)cos(x)-sin(2x+?/4)sin(x)=-v2/2.

1. $$2\cos^2(\pi x)+\sin(\pi x)-1=0$$

   $$2(1-\sin^2(\pi x))+\sin(\pi x)-1=0$$

   $$2-2\sin^2(\pi x)+\sin(\pi x)-1=0$$

   Пусть $$y=\sin(\pi x)$$. Тогда

   $$2y^2-y-1=0$$

   $$D=1+8=9$$

   $$y_1=\frac{1-3}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{1+3}{4}=1$$

   1) $$\sin(\pi x)=-\frac12$$, тогда

   $$\pi x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\qquad x=(-1)^{n+1}\frac16+n$$

   2) $$\sin(\pi x)=1$$, тогда

   $$\pi x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=\frac12+2n$$

2. $$\sin^4 x+\cos^4 x-\cos 2x=0{,}5$$

   $$\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)^2-2\sin^2 x\cos^2 x-\cos 2x=\frac12$$

   $$1-\frac12\sin^2 2x-\cos 2x=\frac12$$

   $$\frac12\cos^2 2x-\cos 2x=0$$

   Пусть $$y=\cos 2x$$. Тогда

   $$\frac12y^2-y=0$$

   $$y(y-2)=0$$

   С учётом $$-1\le y\le 1$$ получаем только $$y=0$$.

   $$\cos 2x=0$$

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

3. $$\cos 2x+3\sin x+1=0$$

   $$1-2\sin^2 x+3\sin x+1=0$$

   Пусть $$y=\sin x$$. Тогда

   $$2y^2-3y-2=0$$

   $$D=9+16=25$$

   $$y_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad y_2=\frac{3+5}{4}=2$$

   Так как $$|\sin x|\le 1$$, подходит только $$y=-\frac12$$.

   $$\sin x=-\frac12$$

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$

4. $$\cos\left(1{,}5\pi-2x\right)-\cos x=0$$

   $$\cos\left(\frac{3\pi}{2}-2x\right)-\cos x=0$$

   $$-\sin 2x-\cos x=0$$

   $$-2\sin x\cos x-\cos x=0$$

   $$-\cos x\,(2\sin x+1)=0$$

   Отсюда:

   1) $$\cos x=0,\qquad x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

   2) $$2\sin x+1=0,\qquad \sin x=-\frac12,\qquad x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$

5. $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\cos x-\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\sin x=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}+x\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$\cos\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   Пусть $$y=3x+\frac{\pi}{4}$$. Тогда

   $$\cos y=-\frac{\sqrt2}{2}$$

   $$y=\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$

   1) $$3x+\frac{\pi}{4}=-\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$

   $$3x=-\pi+2\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3}$$

   2) $$3x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n$$

   $$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}$$

Ответ

1) $$x=\frac12+2n,\; x=(-1)^{n+1}\frac16+n$$

2) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

3) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$

4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n$$

5) $$x=-\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi n}{3}$$