Самостоятельная работа 40 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. sin(2x+?/3)=-1/2. 2. cos^2(x)-3cos(x)-4=0.
3. 2sin^2(?x)+5sin(?x)-7=0. 4. ctg(x)+5/(2ctg(x)-1)-6=0.
5. tg^3(x)-tg^2(x)-4tg(x)+4=0.

1. $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12.$$

   Положим $$y=2x+\frac{\pi}{3}.$$ Тогда

   $$\sin y=-\frac12.$$

   Отсюда

   $$y=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad y=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   1) $$2x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,$$

   $$2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{4}+\pi n.$$

   2) $$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,$$

   $$2x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad x=\frac{5\pi}{12}+\pi n.$$

2. $$\cos^2 x-3\cos x-4=0.$$

   Положим $$y=\cos x.$$ Тогда

   $$y^2-3y-4=0,$$

   $$\left(y-4\right)\left(y+1\right)=0.$$

   Получаем $$y=4$$ или $$y=-1.$$

   Так как $$|\cos x|\le 1,$$ значение $$y=4$$ не подходит. Значит,

   $$\cos x=-1,$$

   $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$2\sin^2(\pi x)+5\sin(\pi x)-7=0.$$

   Положим $$y=\sin(\pi x).$$ Тогда

   $$2y^2+5y-7=0.$$

   $$D=5^2-4\cdot 2\cdot(-7)=25+56=81,$$

   $$y_{1,2}=\frac{-5\pm 9}{4}.$$

   Отсюда $$y_1=1,$$ $$y_2=-\frac72.$$

   Так как $$-1\le \sin(\pi x)\le 1,$$ подходит только $$y=1.$$ Тогда

   $$\sin(\pi x)=1,$$

   $$\pi x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad x=\frac12+2n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4. $$\ctg x+\frac{5}{2\ctg x-1}-6=0.$$

   Положим $$y=\ctg x.$$ Тогда

   $$y+\frac{5}{2y-1}-6=0,$$

   $$y(2y-1)+5-6(2y-1)=0,$$

   $$2y^2-y+5-12y+6=0,$$

   $$2y^2-13y+11=0.$$

   $$D=13^2-4\cdot 2\cdot 11=169-88=81,$$

   $$y_{1,2}=\frac{13\pm 9}{4}.$$

   Получаем $$y_1=1,$$ $$y_2=\frac{11}{2}.$$

   Тогда

   $$\ctg x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

   $$\ctg x=\frac{11}{2} \quad \Rightarrow \quad x=\operatorname{arcctg}\frac{11}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5. $$\tg^3 x-\tg^2 x-4\tg x+4=0.$$

   Положим $$y=\tg x.$$ Тогда

   $$y^3-y^2-4y+4=0,$$

   $$y^2(y-1)-4(y-1)=0,$$

   $$\left(y^2-4\right)(y-1)=0,$$

   $$\left(y-2\right)\left(y+2\right)(y-1)=0.$$

   Следовательно,

   $$y=1,\quad y=2,\quad y=-2.$$

   Тогда

   $$\tg x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\pi n,$$

   $$\tg x=2 \quad \Rightarrow \quad x=\arctg 2+\pi n,$$

   $$\tg x=-2 \quad \Rightarrow \quad x=-\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \frac{5\pi}{12}+\pi n;$$
2) $$x=\pi+2\pi n;$$
3) $$x=\frac12+2n;$$
4) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \operatorname{arcctg}\frac{11}{2}+\pi n;$$
5) $$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\ \arctg 2+\pi n,\ -\arctg 2+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$