Самостоятельная работа 4 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
б) Найдите значение полученной дроби при x=3.
2. а) Запишите в виде дроби выражение 1/((x+11)(x+12))+1/((x+12)(x+13))+…+1/((x+21)(x+22)).
б) Найдите значение полученной дроби при x=-12.
3. Упростите выражение ((1+8y^3)/(1-2y+4y^2)-(8+y^3)/(4y-2y^2+y^3)):((8-y^3)/(4y+2y^2+y^3)+(1-8y^3)/(1+2y+4y^2)).
Сократим дробь:
$$\frac{x^3+4x^2-9x-36}{x^3+2x^2-11x-12}$$
$$x^3+4x^2-9x-36=x^2(x+4)-9(x+4)= (x+4)(x^2-9)=(x+4)(x-3)(x+3)$$
$$x^3+2x^2-11x-12=x^2(x+2)-11x-12=(x+1)(x+4)(x-3)$$
Тогда
$$\frac{x^3+4x^2-9x-36}{x^3+2x^2-11x-12}=\frac{(x+4)(x-3)(x+3)}{(x+1)(x+4)(x-3)}=\frac{x+3}{x+1}.$$При $$x=3$$:
$$\frac{x+3}{x+1}=\frac{3+3}{3+1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}.$$Преобразуем сумму к общему виду:
$$S=\frac{1}{(x+11)(x+12)}+\frac{1}{(x+12)(x+13)}+\cdots+\frac{1}{(x+21)(x+22)}$$
$$\frac{1}{(x+k)(x+k+1)}=\frac{1}{x+k}-\frac{1}{x+k+1}$$
Тогда
$$S=\left(\frac{1}{x+11}-\frac{1}{x+12}\right)+\left(\frac{1}{x+12}-\frac{1}{x+13}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{x+21}-\frac{1}{x+22}\right).$$После сокращения получаем:
$$S=\frac{1}{x+11}-\frac{1}{x+22}=\frac{11}{(x+11)(x+22)}.$$При $$x=-12$$:
$$S(-12)=\frac{11}{(11-12)(22-12)}=\frac{11}{(-1)\cdot 10}=-\frac{11}{10}.$$Упростим выражение:
$$\left(\frac{1+8y^3}{1-2y+4y^2}-\frac{8+y^3}{4y-2y^2+y^3}\right):\left(\frac{8-y^3}{4y+2y^2+y^3}+\frac{1-8y^3}{1+2y+4y^2}\right)$$
Разложим на множители:
$$1+8y^3=(1+2y)(1-2y+4y^2),$$
$$8+y^3=(2+y)(4-2y+y^2),$$
$$8-y^3=(2-y)(4+2y+y^2),$$
$$1-8y^3=(1-2y)(1+2y+4y^2).$$После сокращения получаем:
$$\left((1+2y)-\frac{2+y}{y}\right):\left(\frac{2-y}{y}+(1-2y)\right).$$Приведём к общему знаменателю:
$$\frac{(1+2y)y-(2+y)}{y}:\frac{(2-y)+y(1-2y)}{y}$$
$$=\frac{2y^2-2}{y}\,:\,\frac{2-2y^2}{y}.$$Тогда
$$\frac{2y^2-2}{y}\cdot\frac{y}{2-2y^2}=-1.$$
Ответ
1) $$\frac{x+3}{x+1}$$, при $$x=3$$: $$\frac{3}{2}$$;
2) $$\frac{11}{(x+11)(x+22)}$$, при $$x=-12$$: $$-\frac{11}{10}$$;
3) $$-1$$.
