Контрольная работа 4 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) lg(0,01)-log(2, 1/4)+ln(e^3);
б) (25^log(5, v3-1)+9^log(3, v3+1))log(3, 5)/log(3, 625).
2. Решите уравнение:
а) 8·(9/4)^x-30·(3/2)^x+27=0;
б) log(2, x)+6log(4, x)+9log(8, x)=14.
3. Решите неравенство:
а) (1/3)^(x+2)+5·(1/3)^(x+1)-(1/3)^x < 7;
б) (log(2, x))^2-2log(2, x)-3?0.
4*. Докажите числовое равенство
log(9, (6v6-15)^2)+log(27, (6v6+15)^3)=2.
5*. Вычислите значение числового выражения (v5)^log(2, 3):(v3)^log(2, 5).
6*. Решите уравнение (v2-1)^x+(v2+1)^x-2=0.
7.* Некоторое число деталей токарь должен обточить к намеченному сроку. За 6 ч он выполнил три четверти задания, а остальные детали обточил его ученик, который обтачивал на 6 деталей в час меньше, чем токарь. В результате задание было выполнено на 1 ч 20 мин позже намеченного срока. Сколько деталей обточили токарь и его ученик вместе?
1а)
$$\lg 0{,}01-\log_2 \frac14+\ln e^3=\lg 10^{-2}-\log_2 2^{-2}+3=-2-(-2)+3=3.$$
1б)
$$\frac{\left(25^{\log_5(\sqrt3-1)}+9^{\log_3(\sqrt3+1)}\right)\log_3 5}{\log_3 625}$$
$$=\frac{\left((\sqrt3-1)^2+(\sqrt3+1)^2\right)\log_3 5}{\log_3 5^4}$$
$$=\frac{(3-2\sqrt3+1+3+2\sqrt3+1)\log_3 5}{4\log_3 5}=\frac{8}{4}=2.$$2а)
$$8\left(\frac94\right)^x-30\left(\frac32\right)^x+27=0,$$
$$y=\left(\frac32\right)^x.$$
Тогда
$$8y^2-30y+27=0.$$
$$D=30^2-4\cdot 8\cdot 27=900-864=36,$$
$$y_1=\frac{30-6}{16}=\frac32,\qquad y_2=\frac{30+6}{16}=\frac94.$$
Значит,
$$\left(\frac32\right)^x=\frac32 \Rightarrow x=1,$$
$$\left(\frac32\right)^x=\frac94 \Rightarrow x=2.$$2б)
$$\log_2 x+6\log_4 x+9\log_8 x=14,$$
$$\log_4 x=\frac12\log_2 x,\qquad \log_8 x=\frac13\log_2 x.$$
Тогда
$$\log_2 x+6\cdot \frac12\log_2 x+9\cdot \frac13\log_2 x=14,$$
$$\log_2 x+3\log_2 x+3\log_2 x=14,$$
$$7\log_2 x=14,$$
$$\log_2 x=2,\qquad x=4.$$3а)
$$\left(\frac13\right)^{x+2}+5\left(\frac13\right)^{x+1}-\left(\frac13\right)^x<7,$$
$$\frac1{9}\left(\frac13\right)^x+\frac53\left(\frac13\right)^x-\left(\frac13\right)^x<7,$$
$$\frac79\left(\frac13\right)^x<7,$$
$$\left(\frac13\right)^x<9=\left(\frac13\right)^{-2}.$$
Так как основание $$\frac13<1,$$ получаем
$$x>-2.$$3б)
$$\left(\log_2 x\right)^2-2\log_2 x-3\le 0,$$
$$y=\log_2 x.$$
Тогда
$$y^2-2y-3\le 0,$$
$$(y-3)(y+1)\le 0,$$
$$-1\le y\le 3.$$
Возвращаясь к $$x,$$ получаем
$$2^{-1}\le x\le 2^3,$$
$$0{,}5\le x\le 8.$$4*
$$\log_9(6\sqrt6-15)^2+\log_{27}(6\sqrt6+15)^3$$
$$=\log_{3^2}(6\sqrt6-15)^2+\log_{3^3}(6\sqrt6+15)^3$$
$$=\log_3|6\sqrt6-15|+\log_3|6\sqrt6+15|$$
$$=\log_3\bigl((15-6\sqrt6)(15+6\sqrt6)\bigr)$$
$$=\log_3(225-216)=\log_3 9=2.$$5*
$$\frac{(\sqrt5)^{\log_2 3}}{(\sqrt3)^{\log_2 5}}=\frac{5^{\frac12\log_2 3}}{3^{\frac12\log_2 5}}$$
$$=\left(\frac{5^{\log_2 3}}{3^{\log_2 5}}\right)^{\frac12} =\left(\frac{3^{\log_2 5}}{3^{\log_2 5}}\right)^{\frac12}=1.$$6*
$$\left(\sqrt2-1\right)^x+\left(\sqrt2+1\right)^x-2=0,$$
$$y=\left(\sqrt2-1\right)^x,\qquad \sqrt2+1=\frac1{\sqrt2-1}.$$
Тогда
$$y+\frac1y-2=0,$$
$$y^2-2y+1=0,$$
$$(y-1)^2=0,$$
$$y=1.$$
Значит,
$$\left(\sqrt2-1\right)^x=1,\qquad x=0.$$7*
Пусть токарь обтачивает $$x$$ деталей в час, тогда всего деталей было $$y$$.
За 6 ч он выполнил $$\frac34$$ задания, то есть
$$6x=\frac34y.$$
Осталось $$\frac14y$$ деталей, их обтачивал ученик со скоростью $$x-6$$ деталей в час.
Время работы ученика:
$$\frac{\frac14y}{x-6}=2+\frac13=\frac73.$$
Тогда
$$\frac{y}{4(x-6)}=\frac73,$$
$$3y=28(x-6).$$
Из $$6x=\frac34y$$ получаем
$$y=8x.$$
Подставим:
$$3\cdot 8x=28(x-6),$$
$$24x=28x-168,$$
$$4x=168,$$
$$x=42,$$
$$y=8x=336.$$
Ответ
1) а) $$3$$; б) $$2$$.
2) а) $$1,\,2$$; б) $$4$$.
3) а) $$(-2;+\infty)$$; б) $$[0{,}5;8]$$.
4) $$2$$.
5) $$1$$.
6) $$0$$.
7) $$336$$ деталей.
