Самостоятельная работа 38 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Определите промежутки возрастания функции y=tg(2x).
3. Докажите четность (или нечетность) функции y=sin(4x)+sin(2x).
4. Определите главный период функции f(x)=sin(4x)cos(3x)-sin(3x)cos(4x).
5. Определите наибольшее и наименьшее значения функции f(x)=14cos^2(21x)+11sin^2(21x).
6. Постройте график функции f(x)=sin(2x)/(2|sin(x)|).

1. Функция $$y=\tg x$$ не определена при $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Её график проходит через точки $$\left(\pi n,0\right)$$ и имеет вертикальные асимптоты $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$ На каждом промежутке

   $$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n;\,\frac{\pi}{2}+\pi n\right)$$

   функция возрастает.

2. Для функции $$y=\tg(2x)$$ промежутки возрастания получаем из условия возрастания тангенса:

   $$-\frac{\pi}{2}+\pi n<2x<\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

   Делим на 2:

   $$-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}<x<\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

3. Проверим чётность функции $$y=\sin 4x+\sin 2x.$$

   $$f(-x)=\sin(-4x)+\sin(-2x)=-\sin 4x-\sin 2x=-f(x).$$

   Значит, функция нечётная.

4. Найдём главный период функции

   $$f(x)=\sin 4x\cos 3x-\sin 3x\cos 4x.$$

   По формуле

   $$\sin A\cos B-\sin B\cos A=\sin(A-B)$$

   получаем:

   $$f(x)=\sin(4x-3x)=\sin x.$$

   Главный период функции $$\sin x$$ равен $$2\pi.$$

5. Рассмотрим функцию

   $$f(x)=14\cos^2 21x+11\sin^2 21x.$$

   Используем тождество $$\cos^2 21x=1-\sin^2 21x$$:

   $$f(x)=14(1-\sin^2 21x)+11\sin^2 21x=14-3\sin^2 21x.$$

   Так как $$0\le \sin^2 21x\le 1,$$ то

   $$11\le 14-3\sin^2 21x\le 14.$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$14,$$ наименьшее — $$11.$$

6. Преобразуем функцию

   $$f(x)=\frac{\sin 2x}{2|\sin x|}=\frac{2\sin x\cos x}{2|\sin x|}=\frac{\sin x\cos x}{|\sin x|}.$$

   При $$\sin x>0$$ имеем $$|\sin x|=\sin x,$$ поэтому

   $$f(x)=\cos x.$$

   При $$\sin x<0$$ имеем $$|\sin x|=-\sin x,$$ поэтому

   $$f(x)=-\cos x.$$

   Функция не определена при $$\sin x=0,$$ то есть при $$x=\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

   Итак, график состоит из участков графика $$y=\cos x$$ на промежутках, где $$\sin x>0,$$ и участков графика $$y=-\cos x$$ на промежутках, где $$\sin x<0,$$ с выколотыми точками при $$x=\pi n.$$

Ответ

1) График $$y=\tg x$$ имеет вертикальные асимптоты $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$ и проходит через точки $$\left(\pi n,0\right).$$

2) $$\left(-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2};\,\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\right),\; n\in\mathbb Z.$$

3) Функция нечётная.

4) $$2\pi.$$

5) Наибольшее значение: $$14,$$ наименьшее значение: $$11.$$

6) $$f(x)=\cos x$$ при $$\sin x>0,$$ $$f(x)=-\cos x$$ при $$\sin x<0,$$ $$x\ne \pi n,\; n\in\mathbb Z.$$