Самостоятельная работа 43 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

Решите неравенство (1—4).

1. а) $$\sin x>-\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   б) $$\cos x<\frac{\sqrt{3}}{2}$$;
   в) $$\tg x>\frac{\sqrt{3}}{3}$$.
2. а) $$\sin\left(3x-\frac{2\pi}{3}\right)?\frac{1}{2}$$;
   б) $$\cos\left(2x+\frac{3\pi}{4}\right)?-\frac{\sqrt{2}}{2}$$.
3. $$4\cos^2 x-(2\sqrt{2}-2)\sin x>4-\sqrt{2}$$.
4. Определите все $$a$$, при каждом из которых неравенство $$5\sin x+12\cos x?a-1$$ не имеет решений.

1. а) $$\sin x>-\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Значения синуса больше $$-\frac{\sqrt2}{2}$$ на промежутках

   $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   б) $$\cos x<\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   в) $$\tg x>\frac{\sqrt3}{3}.$$

   Так как $$\frac{\sqrt3}{3}=\tg\frac{\pi}{6},$$ получаем

   $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2. а) $$\sin\left(3x-\frac{2\pi}{3}\right)\ge \frac12.$$

   Положим $$y=3x-\frac{2\pi}{3}.$$ Тогда

   $$\sin y\ge \frac12,$$

   откуда

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le y\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n\le 3x-\frac{2\pi}{3}\le \frac{5\pi}{6}+2\pi n$$
   $$\frac{5\pi}{6}+2\pi n\le 3x\le \frac{3\pi}{2}+2\pi n$$
   $$\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

   б) $$\cos\left(2x+\frac{3\pi}{4}\right)\le -\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Положим $$y=2x+\frac{3\pi}{4}.$$ Тогда

   $$\cos y\le -\frac{\sqrt2}{2},$$

   значит

   $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le y\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n\le 2x+\frac{3\pi}{4}\le \frac{5\pi}{4}+2\pi n$$
   $$2\pi n\le 2x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n$$
   $$\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3. $$4\cos^2 x-(2\sqrt2-2)\sin x>4-\sqrt2.$$

   Положим $$y=\sin x$$. Тогда $$\cos^2 x=1-y^2,$$ и неравенство принимает вид

   $$4(1-y^2)-(2\sqrt2-2)y>4-\sqrt2$$
   $$4y^2+(2\sqrt2-2)y-\sqrt2<0.$$

   Найдём корни квадратного трёхчлена:

   $$D=(2\sqrt2-2)^2+16\sqrt2=(2\sqrt2+2)^2,$$
   $$y_1=-\frac{\sqrt2}{2},\qquad y_2=\frac12.$$

   Так как старший коэффициент положителен, то

   $$-\frac{\sqrt2}{2}<y<\frac12.$$

   Возвращаясь к $$x$$, получаем

   $$-\frac{\sqrt2}{2}<\sin x<\frac12,$$
   $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{\pi}{6}+2\pi n, \quad \frac{5\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n, \quad n\in\mathbb Z.$$

4. Найти все $$a,$$ при которых неравенство

   $$5\sin x+12\cos x\le a-1$$

   не имеет решений.

   Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

   $$\sqrt{5^2+12^2}=13,$$
   $$5\sin x+12\cos x=13\sin(x+t),$$
   где $$\cos t=\frac{5}{13},\ \sin t=\frac{12}{13}.$$

   Тогда

   $$13\sin(x+t)\le a-1.$$

   Чтобы решений не было, правая часть должна быть меньше минимального значения левой части, то есть

   $$\frac{a-1}{13}<-1.$$

   Отсюда

   $$a-1<-13,\qquad a<-12.$$

Ответ

1) а) $$-\frac{\pi}{4}+2\pi n<x<\frac{5\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$\frac{\pi}{6}+2\pi n<x<\frac{11\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
в) $$\frac{\pi}{6}+\pi n<x<\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.

2) а) $$\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\le x\le \frac{\pi}{2}+\frac{2\pi n}{3},\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$\pi n\le x\le \frac{\pi}{4}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.

3) $$\left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n\right)\cup\left(\frac{5\pi}{6}+2\pi n;\frac{5\pi}{4}+2\pi n\right),\ n\in\mathbb Z.$$

4) $$a<-12.$$