Самостоятельная работа 35 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) 2sin(7?/12)cos(7?/12);
б) (cos(5?/12)-sin(5?/12))(cos(5?/12)+sin(5?/12)).
2. Вычислите sin(2?) и cos(2?), если sin(?)=-5/13 и ? < ? < 3?/2. 3. Докажите равенство tg(2?)=2tg(?)/(1-tg^2(?)), если ???/2+?n, ???/4+?n/2, n?Z. 4. Вычислите: a) sin(75°); б) cos(67°30'). 5. Вычислите sin(?/2) и cos(?/2), если cos(?)=1/18, 3?/2 < ? < 2?.

1. а) Используем формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

   $$2\sin\frac{7\pi}{12}\cos\frac{7\pi}{12}=\sin\frac{7\pi}{6}=-\frac12.$$

   б) Применим формулу разности квадратов:

   $$\left(\cos\frac{5\pi}{12}-\sin\frac{5\pi}{12}\right)\left(\cos\frac{5\pi}{12}+\sin\frac{5\pi}{12}\right)=\cos^2\frac{5\pi}{12}-\sin^2\frac{5\pi}{12}=\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

2. Дано: $$\sin\alpha=-\frac{5}{13}, \quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   Так как угол лежит в III четверти, то $$\cos\alpha<0.$$ Найдём косинус:

   $$\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\sqrt{\frac{144}{169}}=-\frac{12}{13}.$$

   Тогда

   $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\left(-\frac{5}{13}\right)\cdot\left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{120}{169},$$

   $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\frac{144}{169}-\frac{25}{169}=\frac{119}{169}.$$

3. Преобразуем правую часть:

   $$\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}=\frac{2\cdot\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}}{1-\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}}=\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}.$$

   Так как $$2\sin\alpha\cos\alpha=\sin 2\alpha$$ и $$\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos 2\alpha,$$ то

   $$\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}=\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}=\tg 2\alpha.$$

4. а) $$\sin 75^\circ=\sqrt{\frac{1-\cos 150^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt3}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}.$$

   б) $$\cos 67^\circ30’=\sqrt{\frac{1+\cos 135^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

5. Дано: $$\cos\alpha=\frac{1}{18}, \quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi.$$

   Угол $$\frac{\alpha}{2}$$ лежит в III четверти, значит $$\sin\frac{\alpha}{2}<0,$$ $$\cos\frac{\alpha}{2}<0.$$

   Используем формулы половинного угла:

   $$\cos\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=-\sqrt{\frac{1+\frac{1}{18}}{2}}=-\sqrt{\frac{19}{36}}=-\frac{\sqrt{19}}{6},$$

   $$\sin\frac{\alpha}{2}=-\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{1}{18}}{2}}=-\sqrt{\frac{17}{36}}=-\frac{\sqrt{17}}{6}.$$

Ответ

1) а) $$-\frac12$$; б) $$-\frac{\sqrt3}{2}$$. 2) $$\sin 2\alpha=\frac{120}{169}, \ \cos 2\alpha=\frac{119}{169}$$. 3) $$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}$$. 4) а) $$\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}$$; б) $$\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$$. 5) $$\sin\frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{6}, \ \cos\frac{\alpha}{2}=-\frac{\sqrt{19}}{6}$$.