Самостоятельная работа 34 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) sin(110°)+sin(50°); б) sin(110°)-sin(50°);
в) cos(110°)+cos(50°); г) cos(110°)-cos(50°).
2. Докажите равенство cos(140°)+cos(80°)=-v3sin(20°).
3. Вычислите sin(11?/30)-sin(?/30)-cos(8?/15)-cos(2?/15).
4. Запишите в виде произведения cos(110°)+cos(105°)+cos(100°).
5. Докажите равенство v3/(2sin(40°))-2sin(10°)=1.

1. Используем формулы приведения к произведению:

   $$\sin 110^\circ+\sin 50^\circ=2\sin 80^\circ\cos 30^\circ=\sqrt{3}\sin 80^\circ$$

   $$\sin 110^\circ-\sin 50^\circ=2\cos 80^\circ\sin 30^\circ=\cos 80^\circ$$

   $$\cos 110^\circ+\cos 50^\circ=2\cos 80^\circ\cos 30^\circ=\sqrt{3}\cos 80^\circ$$

   $$\cos 110^\circ-\cos 50^\circ=-2\sin 80^\circ\sin 30^\circ=-\sin 80^\circ$$

2. Докажем равенство:

   $$\cos 140^\circ+\cos 80^\circ=2\cos 110^\circ\cos 30^\circ$$

   $$2\cos 110^\circ\cos 30^\circ=-2\cos 70^\circ\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}\cos 70^\circ$$

   $$\cos 70^\circ=\sin 20^\circ$$

   Следовательно,
   $$\cos 140^\circ+\cos 80^\circ=-\sqrt{3}\sin 20^\circ.$$

3. Вычислим значение выражения:

   $$A=\sin\frac{11\pi}{30}-\sin\frac{\pi}{30}-\cos\frac{8\pi}{15}-\cos\frac{2\pi}{15}$$

   $$A=2\sin\frac{10\pi}{60}\cos\frac{12\pi}{60}-2\cos\frac{10\pi}{30}\cos\frac{6\pi}{30}$$

   $$A=2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{5}-2\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{5}$$

   $$A=\cos\frac{\pi}{5}\left(2\cdot\frac12-2\cdot\frac12\right)=0$$

4. Запишем в виде произведения:

   $$B=\cos 110^\circ+\cos 105^\circ+\cos 100^\circ$$

   $$B=2\cos 105^\circ\cos 5^\circ+\cos 105^\circ$$

   $$B=\cos 105^\circ\left(2\cos 5^\circ+1\right)$$

   $$1=2\cos 60^\circ$$

   Тогда
   $$B=2\cos 105^\circ\left(\cos 5^\circ+\cos 60^\circ\right)$$

   $$\cos 5^\circ+\cos 60^\circ=2\cos\frac{65^\circ}{2}\cos\frac{55^\circ}{2}$$

   Следовательно,
   $$B=4\cos 105^\circ\cos\frac{65^\circ}{2}\cos\frac{55^\circ}{2}.$$

5. Докажем равенство:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2\sin 40^\circ}-2\sin 10^\circ=1$$

   Умножим обе части на $$\sin 40^\circ$$:

   $$\frac{\sqrt{3}}{2}-2\sin 10^\circ\sin 40^\circ=\sin 40^\circ$$

   $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60^\circ,\quad \sin 60^\circ-\sin 40^\circ=2\sin 10^\circ\cos 50^\circ$$

   Так как $$\cos 50^\circ=\sin 40^\circ,$$ получаем
   $$\sin 60^\circ-\sin 40^\circ=2\sin 10^\circ\sin 40^\circ,$$

   что и требовалось доказать.

Ответ

1) а) $$\sqrt{3}\sin 80^\circ$$; б) $$\cos 80^\circ$$; в) $$\sqrt{3}\cos 80^\circ$$; г) $$-\sin 80^\circ$$.
2) $$\cos 140^\circ+\cos 80^\circ=-\sqrt{3}\sin 20^\circ$$.
3) $$0$$.
4) $$4\cos 105^\circ\cos\frac{65^\circ}{2}\cos\frac{55^\circ}{2}$$.
5) $$1$$.