Самостоятельная работа 33 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) sin(9?/2-?); б) cos(5?+?); в) sin(-?/2+?).
2. Вычислите 4cos(9?/2+?)-5sin(15?-?), если sin(?)=-0,4.
3. Вычислите (2sin(3?/2-?)-3cos(?-?))/(3sin(?+?)-2cos(3?/2+?)), если ctg(?)=5.
4. Докажите равенство (5sin(140°)+4cos(130°))/cos(210°)=1.

1. Используем формулы приведения:

   $$\sin\left(\frac{9\pi}{2}-\alpha\right)=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha,$$
   $$\cos(5\pi+\alpha)=\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha,$$
   $$\sin\left(-\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{2}\right)=-\cos\alpha.$$

2. Вычислим значение выражения:

   $$A=4\cos\left(\frac{9\pi}{2}+\alpha\right)-5\sin(15\pi-\alpha).$$

   $$A=4\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)-5\sin(\pi-\alpha).$$

   $$A=4(-\sin\alpha)-5\sin\alpha=-9\sin\alpha.$$

   Так как $$\sin\alpha=-0{,}4,$$ то

   $$A=-9\cdot(-0{,}4)=3{,}6.$$

3. Вычислим значение выражения:

   $$B=\frac{2\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)-3\cos(\pi-\alpha)}{3\sin(\pi+\alpha)-2\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)}.$$

   $$B=\frac{2(-\cos\alpha)-3(-\cos\alpha)}{3(-\sin\alpha)-2\sin\alpha}.$$

   $$B=\frac{-2\cos\alpha+3\cos\alpha}{-3\sin\alpha-2\sin\alpha} =\frac{\cos\alpha}{-5\sin\alpha} =-\frac{\ctg\alpha}{5}.$$

   Так как $$\ctg\alpha=5,$$ то

   $$B=-\frac{5}{5}=-1.$$

4. Докажем равенство:

   $$\frac{5\sin 140^\circ+4\cos 130^\circ}{\cos 310^\circ}=1.$$

   $$\sin 140^\circ=\sin(90^\circ+50^\circ)=\cos 50^\circ,$$
   $$\cos 130^\circ=\cos(180^\circ-50^\circ)=-\cos 50^\circ,$$
   $$\cos 310^\circ=\cos(360^\circ-50^\circ)=\cos 50^\circ.$$

   Тогда
   $$\frac{5\cos 50^\circ+4(-\cos 50^\circ)}{\cos 50^\circ} =\frac{\cos 50^\circ}{\cos 50^\circ}=1.$$

Ответ

1) $$\cos\alpha,\ -\cos\alpha,\ -\cos\alpha$$; 2) $$3{,}6$$; 3) $$-1$$; 4) равенство верно.