Самостоятельная работа 32 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) sin(28°)cos(17°)+sin(17°)cos(28°);
б) sin(2?/5)cos(7?/30)-sin(2?/5)cos(7?/30).
2. Упростите выражение cos(3x-2y)cos(x-2y)+sin(3x-2y)sin(x-2y).
3. Вычислите (cos(59°)cos(29°)+sin(59°)sin(29°))/(sin(73°)cos(43°)-sin(43°)cos(73°)).
4. Сравните (sin(67°)cos(73°)+sin(73°)cos(67°))/(cos(55°)cos(65°)-sin(55°)sin(65°)) и (sin(36°)+cos(36°))/(1-cos(72°)+sin(72°)).
5. Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения v3sin(x)+cos(x).
6. Вычислите cos(arccos(12/13)+arccos(0,8)).

1. $$\sin 28^\circ \cos 17^\circ+\sin 17^\circ \cos 28^\circ=\sin(28^\circ+17^\circ)=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   $$\sin \frac{2\pi}{5}\cos \frac{7\pi}{30}-\sin \frac{7\pi}{30}\cos \frac{2\pi}{5}=\sin\left(\frac{2\pi}{5}-\frac{7\pi}{30}\right)=\sin \frac{\pi}{6}=\frac12.$$

2. $$\cos(3x-2y)\cos(x-2y)+\sin(3x-2y)\sin(x-2y)$$

   $$=\cos\bigl((3x-2y)-(x-2y)\bigr)=\cos 2x.$$

3. $$\frac{\cos 59^\circ \cos 29^\circ+\sin 59^\circ \sin 29^\circ}{\sin 73^\circ \cos 43^\circ-\sin 43^\circ \cos 73^\circ}$$

   $$=\frac{\cos(59^\circ-29^\circ)}{\sin(73^\circ-43^\circ)}=\frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}=\sqrt3.$$

4. $$A=\frac{\sin 67^\circ \cos 73^\circ+\sin 73^\circ \cos 67^\circ}{\cos 55^\circ \cos 65^\circ-\sin 55^\circ \sin 65^\circ}$$

   $$=\frac{\sin(67^\circ+73^\circ)}{\cos(55^\circ+65^\circ)}=\frac{\sin 140^\circ}{\cos 120^\circ}=\frac{\sin 40^\circ}{-\frac12}<0.$$

   $$B=\frac{\sin 36^\circ+\cos 36^\circ}{1-\cos 72^\circ+\sin 72^\circ}>0.$$

   Значит, $$B>A$$, то есть второе выражение больше первого.

5. $$\sqrt3\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

   Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то

   $$-2\le 2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le 2.$$

   Наименьшее значение равно $$-2,$$ наибольшее — $$2.$$

6. Пусть $$\alpha=\arccos\frac{12}{13},\quad \beta=\arccos 0{,}8.$$ Тогда

   $$\cos\alpha=\frac{12}{13},\qquad \cos\beta=0{,}8=\frac45.$$

   Так как углы из промежутка $$[0;\pi]$$, то

   $$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13},$$

   $$\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35.$$

   Тогда

   $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$

   $$=\frac{12}{13}\cdot\frac45-\frac{5}{13}\cdot\frac35=\frac{48}{65}-\frac{15}{65}=\frac{33}{65}.$$

Ответ

1) $$\frac{\sqrt2}{2}$$; $$\frac12$$; 2) $$\cos 2x$$; 3) $$\sqrt3$$; 4) второе выражение больше первого; 5) $$-2$$ и $$2$$; 6) $$\frac{33}{65}$$.