Самостоятельная работа 31 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите:
а) arctg(0); б) arctg(v3);
в) arcctg(v3/3); г) arcctg(-v3).
3. Вычислите:
а) tg(arcctg(-7/8)); б) ctg(arctg(13/12));
в) sin(arctg(12/5)); г) cos(arcctg(-15/8)).
4. Вычислите sin(arctg(?)).

1. Для углов вида $$\arctg x$$ и $$\arcctg x$$ используем определения:

   $$\tg(\arctg x)=x,\qquad \ctg(\arcctg x)=x.$$

   Тогда:

   $$\alpha=\arctg\frac{5}{3},\quad \tg\alpha=\frac{5}{3},\quad \ctg\alpha=\frac{3}{5};$$
   $$\beta=\arctg\left(-\frac{2}{3}\right),\quad \tg\beta=-\frac{2}{3},\quad \ctg\beta=-\frac{3}{2};$$
   $$\varphi=\arcctg\left(-\frac{5}{3}\right),\quad \tg\varphi=-\frac{3}{5},\quad \ctg\varphi=-\frac{5}{3};$$
   $$\gamma=\arcctg\frac{2}{3},\quad \tg\gamma=\frac{3}{2},\quad \ctg\gamma=\frac{2}{3}.$$

2. Вычислим значения:

   $$\arctg 0=0,$$
   $$\arctg\sqrt{3}=\frac{\pi}{3},$$
   $$\arcctg\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\pi}{3},$$
   $$\arcctg(-\sqrt{3})=\frac{5\pi}{6}.$$

3. Используем свойства обратных тригонометрических функций:

   $$\tg(\arcctg x)=\frac{1}{\ctg(\arcctg x)}=\frac{1}{x},$$
   $$\ctg(\arctg x)=\frac{1}{\tg(\arctg x)}=\frac{1}{x}.$$

   а)
   $$\tg\left(\arcctg\left(-\frac{7}{8}\right)\right)=\frac{1}{-\frac{7}{8}}=-\frac{8}{7};$$

   б)
   $$\ctg\left(\arctg\frac{13}{12}\right)=\frac{1}{\frac{13}{12}}=\frac{12}{13};$$

   в) пусть $$\alpha=\arctg\frac{12}{5}$$. Тогда
   $$\tg\alpha=\frac{12}{5},$$
   а так как $$\alpha\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right),$$ то $$\cos\alpha>0$$:
   $$\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{144}{25}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{169}{25}}}=\frac{5}{13}.$$
   Следовательно,
   $$\sin\alpha=\tg\alpha\cdot\cos\alpha=\frac{12}{5}\cdot\frac{5}{13}=\frac{12}{13}.$$

   г) пусть $$\alpha=\arcctg\left(-\frac{15}{8}\right)$$. Тогда
   $$\ctg\alpha=-\frac{15}{8},$$
   а значит, $$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right),$$ поэтому $$\sin\alpha>0$$:
   $$\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2\alpha}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{225}{64}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{289}{64}}}=\frac{8}{17}.$$
   Тогда
   $$\cos\alpha=\ctg\alpha\cdot\sin\alpha=-\frac{15}{8}\cdot\frac{8}{17}=-\frac{15}{17}.$$

4. Пусть $$\alpha=\arctg x$$. Тогда $$\tg\alpha=x$$ и

   $$\sin(\arctg x)=\frac{\tg\alpha}{\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Ответ

1) $$\tg\alpha=\frac{5}{3},\ \ctg\alpha=\frac{3}{5};\ \tg\beta=-\frac{2}{3},\ \ctg\beta=-\frac{3}{2};\ \tg\varphi=-\frac{3}{5},\ \ctg\varphi=-\frac{5}{3};\ \tg\gamma=\frac{3}{2},\ \ctg\gamma=\frac{2}{3}.$$
2) а) $$0$$; б) $$\frac{\pi}{3}$$; в) $$\frac{\pi}{3}$$; г) $$\frac{5\pi}{6}$$.
3) а) $$-\frac{8}{7}$$; б) $$\frac{12}{13}$$; в) $$\frac{12}{13}$$; г) $$-\frac{15}{17}$$.
4) $$\sin(\arctg x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$