Самостоятельная работа 37 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Вычислите $$\operatorname{tg}(?+?)$$ и $$\operatorname{tg}(?-?)$$, если $$\operatorname{tg}(?)=\frac{1}{2}$$, $$\operatorname{tg}(?)=\frac{1}{5}$$.
- Вычислите:
а) $$\frac{\operatorname{tg}(94^\circ)-\operatorname{tg}(64^\circ)}{1+\operatorname{tg}(94^\circ)\operatorname{tg}(64^\circ)}$$;
б) $$\frac{\operatorname{tg}(43^\circ)+\operatorname{tg}(17^\circ)}{1-\operatorname{tg}(43^\circ)\operatorname{tg}(17^\circ)}$$. - Докажите равенство $$\frac{\operatorname{tg}(5?)-\operatorname{tg}(3?)}{1+\operatorname{tg}(5?)\operatorname{tg}(3?)}+\frac{\operatorname{tg}(3?)-\operatorname{tg}(?)}{1+\operatorname{tg}(3?)\operatorname{tg}(?)}=2\operatorname{tg}(2?)$$ для тех $$?$$, для которых определены обе его части.
- Вычислите $$\operatorname{tg}(4?)$$, если $$\operatorname{tg}(?)=\frac{1}{8}$$.
- Вычислите $$\operatorname{tg}\left(\frac{5?}{12}\right)$$.
Используем формулы:
$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\tg\beta}.$$
При $$\tg\alpha=\frac12$$ и $$\tg\beta=\frac15$$ получаем:
$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\frac12+\frac15}{1-\frac12\cdot\frac15}=\frac{\frac{7}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac79,$$
$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\frac12-\frac15}{1+\frac12\cdot\frac15}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{11}{10}}=\frac3{11}.$$
а)
$$\frac{\tg 94^\circ-\tg 64^\circ}{1+\tg 94^\circ \tg 64^\circ}=\tg(94^\circ-64^\circ)=\tg 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}.$$
б)
$$\frac{\tg 43^\circ+\tg 17^\circ}{1-\tg 43^\circ \tg 17^\circ}=\tg(43^\circ+17^\circ)=\tg 60^\circ=\sqrt3.$$
Преобразуем левую часть:
$$\frac{\tg 5\alpha-\tg 3\alpha}{1+\tg 5\alpha \tg 3\alpha}+\frac{\tg 3\alpha-\tg \alpha}{1+\tg 3\alpha \tg \alpha}$$
$$=\tg(5\alpha-3\alpha)+\tg(3\alpha-\alpha)$$
$$=\tg 2\alpha+\tg 2\alpha=2\tg 2\alpha.$$
Тождество доказано для тех значений $$\alpha$$, при которых определены обе части.
Используем формулу двойного угла:
$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^2\alpha}.$$
При $$\tg\alpha=\frac18$$ имеем:
$$\tg 2\alpha=\frac{2\cdot \frac18}{1-\left(\frac18\right)^2}=\frac{\frac14}{1-\frac1{64}}=\frac{\frac14}{\frac{63}{64}}=\frac{16}{63}.$$
Тогда
$$\tg 4\alpha=\frac{2\tg 2\alpha}{1-\tg^2 2\alpha}=\frac{2\cdot \frac{16}{63}}{1-\left(\frac{16}{63}\right)^2}=\frac{\frac{32}{63}}{1-\frac{256}{3969}}=\frac{\frac{32}{63}}{\frac{3713}{3969}}=\frac{2016}{3713}.$$
Используем формулу:
$$\tg\frac{5\pi}{12}=\sqrt{\frac{1-\cos\frac{5\pi}{6}}{1+\cos\frac{5\pi}{6}}}.$$
Так как $$\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2},$$ то
$$\tg\frac{5\pi}{12}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{1-\frac{\sqrt3}{2}}} =\sqrt{\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}}.$$
Рационализуем знаменатель:
$$\sqrt{\frac{2+\sqrt3}{2-\sqrt3}}=\sqrt{\frac{(2+\sqrt3)^2}{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}}=\sqrt{(2+\sqrt3)^2}=2+\sqrt3.$$
Ответ
1) $$\frac79,\ \frac3{11}$$; 2) а) $$\frac{\sqrt3}{3}$$, б) $$\sqrt3$$; 3) $$2\tg 2\alpha$$; 4) $$\frac{2016}{3713}$$; 5) $$2+\sqrt3$$.
