Самостоятельная работа 30 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите (tg(?)-ctg(?)):(sin(?)-cos(?)), если sin(?)+cos(?)=1,2.
3. Докажите равенство (tg(-?)-1)(ctg(?-9?)+1)/((tg(?+3?)+1)(ctg(-?)-1))=1, для тех ?, для которых определена левая часть равенства.

1. Пусть $$\operatorname{ctg}\alpha=-\frac{5}{12}, \quad \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi.$$

   Тогда

   $$\sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{1+\operatorname{ctg}^2\alpha}} =\sqrt{\frac{1}{1+\frac{25}{144}}} =\sqrt{\frac{144}{169}} =\frac{12}{13}.$$

   Так как $$\operatorname{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha},$$ то

   $$\cos\alpha=\operatorname{ctg}\alpha\cdot \sin\alpha =-\frac{5}{12}\cdot \frac{12}{13} =-\frac{5}{13}.$$

   Найдём тангенс:

   $$\operatorname{tg}\alpha=\frac{1}{\operatorname{ctg}\alpha} =-\frac{12}{5}.$$

2. Обозначим

   $$S=(\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{ctg}\alpha):(\sin\alpha-\cos\alpha).$$

   Преобразуем:

   $$S=\left(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\right):(\sin\alpha-\cos\alpha) =\frac{\sin^2\alpha-\cos^2\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}:(\sin\alpha-\cos\alpha).$$

   Так как $$\sin^2\alpha-\cos^2\alpha=(\sin\alpha-\cos\alpha)(\sin\alpha+\cos\alpha),$$ то

   $$S=\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}.$$

   Из условия $$\sin\alpha+\cos\alpha=1{,}2,$$ значит

   $$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\sin^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha=1+2\sin\alpha\cos\alpha,$$

   $$1{,}2^2=1+2\sin\alpha\cos\alpha,$$
   $$1{,}44-1=2\sin\alpha\cos\alpha,$$
   $$\sin\alpha\cos\alpha=0{,}22.$$

   Тогда

   $$S=\frac{1{,}2}{0{,}22}=\frac{120}{22}=\frac{60}{11}.$$

3. Преобразуем левую часть:

   $$\frac{(\operatorname{tg}(-\alpha)-1)(\operatorname{ctg}(\alpha-9\pi)+1)}{(\operatorname{tg}(\alpha+3\pi)+1)(\operatorname{ctg}(-\alpha)-1)}.$$

   Используем формулы приведения и периодичность:

   $$\operatorname{tg}(-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha,$$
   $$\operatorname{ctg}(\alpha-9\pi)=\operatorname{ctg}\alpha,$$
   $$\operatorname{tg}(\alpha+3\pi)=\operatorname{tg}\alpha,$$
   $$\operatorname{ctg}(-\alpha)=-\operatorname{ctg}\alpha.$$

   Тогда

   $$\frac{(-\operatorname{tg}\alpha-1)(\operatorname{ctg}\alpha+1)}{(\operatorname{tg}\alpha+1)(-\operatorname{ctg}\alpha-1)} =\frac{-(\operatorname{tg}\alpha+1)(\operatorname{ctg}\alpha+1)}{-(\operatorname{tg}\alpha+1)(\operatorname{ctg}\alpha+1)}=1.$$

Ответ

1) $$\sin\alpha=\frac{12}{13}, \quad \cos\alpha=-\frac{5}{13}, \quad \operatorname{tg}\alpha=-\frac{12}{5}.$$
2) $$\frac{60}{11}.$$
3) $$1.$$