Самостоятельная работа 3 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) 2x^2-5x-3=0; б) 4x^2-4x+1=0; в) 5x^2-4x+1=0.
2. Верно ли, что число x_1=-1 является корнем уравнения:
а) x^2+100x+99=0; б) x^2-5x-6=0; в) 2x^2+5x+3=0?
Если да, то найдите корень x_2 и разложите квадратный трехчлен в левой части уравнения на линейные множители.
3. Если квадратное уравнение x^2-12x+4=0 имеет корни x_1 и x_2, то, не вычисляя их, найдите значение числового выражения x_1^3x_2+x_1x_2^3.
Решим квадратные уравнения.
а) $$2x^2-5x-3=0$$
$$D=(-5)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25+24=49$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 7}{2\cdot 2}$$
$$x_1=\frac{5-7}{4}=-\frac12,\qquad x_2=\frac{5+7}{4}=3$$
б) $$4x^2-4x+1=0$$
$$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$$
$$2x-1=0,\qquad x=\frac12$$
в) $$5x^2-4x+1=0$$
$$D=(-4)^2-4\cdot 5\cdot 1=16-20=-4$$
Действительных корней нет.
Проверим, является ли число $$x_1=-1$$ корнем уравнения.
а) $$x^2+100x+99=0$$
$$(-1)^2+100\cdot(-1)+99=1-100+99=0$$
Значит, $$x_1=-1$$ — корень. Тогда
$$x_1+x_2=-100,\qquad x_2=-100-(-1)=-99$$
$$x^2+100x+99=(x+1)(x+99)$$
б) $$x^2-5x-6=0$$
$$(-1)^2-5\cdot(-1)-6=1+5-6=0$$
Значит, $$x_1=-1$$ — корень. Тогда
$$x_1+x_2=5,\qquad x_2=5-(-1)=6$$
$$x^2-5x-6=(x+1)(x-6)$$
в) $$2x^2+5x+3=0$$
$$2\cdot(-1)^2+5\cdot(-1)+3=2-5+3=0$$
Значит, $$x_1=-1$$ — корень. Тогда
$$x_1+x_2=-\frac52,\qquad x_2=-\frac52-(-1)=-\frac32$$
$$2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1)$$
Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2-12x+4=0$$. Тогда по теореме Виета
$$x_1+x_2=12,\qquad x_1x_2=4$$
Найдём значение выражения:
$$x_1^3x_2+x_1x_2^3=x_1x_2(x_1^2+x_2^2)$$
$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=12^2-2\cdot 4=144-8=136$$
$$x_1^3x_2+x_1x_2^3=4\cdot 136=544$$
Ответ
1) а) $$-\frac12,\ 3$$; б) $$\frac12$$; в) корней нет. 2) а) да, $$x_2=-99$$, $$x^2+100x+99=(x+1)(x+99)$$; б) да, $$x_2=6$$, $$x^2-5x-6=(x+1)(x-6)$$; в) да, $$x_2=-\frac32$$, $$2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1)$$. 3) $$544$$.
