Контрольная работа 3 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите (2^(1/3)·9^(-1/3))/(6^(-2/3)·4^(3/2)).
3. Постройте график функции и перечислите свойства этой функции:
а) y=4^x; б) y=(1/5)^x.
4. Упростите выражение (2/(x^(1/3)+y^(1/3))+2/(x^(1/3)-y^(1/3)))·(9x^(-1/3)y^(-2/3))/(x^(-2/3)-y^(-2/3)).
5*. Упростите выражение ((x+x^(1/3)+x^(-1/3))/((x^(1/3)+x^(-1/3)+1)(x^(1/3)+x^(-1/3)-1))+x^(1/3))^(-3) и найдите его значение при x=0,125.
6*. Вычислите предел последовательности:
а) (n > +?)lim((-4n^3+2n^2-1)/(3n^3+n^2+11)); б) (n > +?)lim((-3n^4+4n)/(2n^3+5n^2+11));
в) (n > +?)lim((2n+1)^(1/3)-(2n)^(1/3)); г) (n > +?)lim(1+3n+5n^2-7n^3).
7*. Четыре ученика, работая совместно с одинаковой производительностью, выполнили задание за некоторый срок. Один мастер и один ученик, работая совместно, выполнили бы это задание за 4/3 того же срока. Во сколько раз производительность мастера больше производительности ученика?

1. $$A=\left(a^{\frac12}:a^{\frac23}\right)^{30}= \left(a^{\frac12-\frac23}\right)^{30}= \left(a^{-\frac16}\right)^{30}=a^{-5}.$$

   При $$a=\left(\frac12\right)^{-\frac25}$$ получаем

   $$A=\left(\left(\frac12\right)^{-\frac25}\right)^{-5}=\left(\frac12\right)^2=\frac14.$$

2. $$A=\frac{2^{\frac13}\cdot 9^{-\frac13}}{6^{-\frac23}\cdot 4^{\frac32}}.$$

   Представим числа в виде степеней простых множителей:

   $$9^{-\frac13}=3^{-\frac23}, \quad 6^{-\frac23}=2^{-\frac23}\cdot 3^{-\frac23}, \quad 4^{\frac32}=2^3.$$

   Тогда

   $$A=\frac{2^{\frac13}\cdot 3^{-\frac23}}{2^{-\frac23}\cdot 3^{-\frac23}\cdot 2^3} =\frac{2^{\frac13}}{2^{\frac73}} =2^{-2} =\frac14.$$

3. а) $$y=4^x.$$

   Это показательная функция при $$a>1$$, поэтому её график проходит через точку $$\left(0;1\right)$$, возрастает, при $$x\to -\infty$$ стремится к $$0$$, а при $$x\to +\infty$$ неограниченно возрастает.

   Свойства:

   • $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;
   • $$E(y)=(0;+\infty)$$;
   • $$y>0$$ при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$;
   • $$y(0)=1$$;
   • функция возрастает.

   б) $$y=\left(\frac15\right)^x.$$

   Это показательная функция при $$0<a<1$$, поэтому она проходит через точку $$\left(0;1\right)$$, убывает, при $$x\to +\infty$$ стремится к $$0$$, а при $$x\to -\infty$$ неограниченно возрастает.

   Свойства:

   • $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;
   • $$E(y)=(0;+\infty)$$;
   • $$y>0$$ при всех $$x\in(-\infty;+\infty)$$;
   • $$y(0)=1$$;
   • функция убывает.

4. $$A=\left(\frac{2}{x^{\frac13}+y^{\frac13}}+\frac{2}{x^{\frac13}-y^{\frac13}}\right)\cdot \frac{9x^{-\frac13}y^{-\frac23}}{x^{-\frac23}-y^{-\frac23}}.$$

   Сложим дроби в первой скобке:

   $$\frac{2}{x^{\frac13}+y^{\frac13}}+\frac{2}{x^{\frac13}-y^{\frac13}} =\frac{2\left(x^{\frac13}-y^{\frac13}\right)+2\left(x^{\frac13}+y^{\frac13}\right)}{\left(x^{\frac13}+y^{\frac13}\right)\left(x^{\frac13}-y^{\frac13}\right)} =\frac{4x^{\frac13}}{x^{\frac23}-y^{\frac23}}.$$

   Тогда

   $$A=\frac{4x^{\frac13}}{x^{\frac23}-y^{\frac23}}\cdot \frac{9x^{-\frac13}y^{-\frac23}}{x^{-\frac23}-y^{-\frac23}}.$$

   Преобразуем знаменатель второй дроби:

   $$x^{-\frac23}-y^{-\frac23}=\frac{y^{\frac23}-x^{\frac23}}{x^{\frac23}y^{\frac23}}=-\frac{x^{\frac23}-y^{\frac23}}{x^{\frac23}y^{\frac23}}.$$

   Тогда

   $$A=\frac{4x^{\frac13}}{x^{\frac23}-y^{\frac23}}\cdot 9x^{-\frac13}y^{-\frac23}\cdot \left(-\frac{x^{\frac23}y^{\frac23}}{x^{\frac23}-y^{\frac23}}\right)=-\frac49.$$

5. $$A=\left(\frac{x+\sqrt[3]{x}+x^{-\frac13}}{\left(\sqrt[3]{x}+x^{-\frac13}+1\right)\left(\sqrt[3]{x}+x^{-\frac13}-1\right)}+x^{\frac13}\right)^{-3}.$$

   Обозначим $$t=x^{\frac13}$$, тогда $$x^{-\frac13}=t^{-1}$$. Получаем

   $$A=\left(\frac{t+t^{-1}+t^{-1}}{(t+t^{-1}+1)(t+t^{-1}-1)}+t\right)^{-3} =\left(\frac{t+t^{-1}+t^{-1}}{(t+t^{-1})^2-1}+t\right)^{-3}.$$

   После упрощения выражение в скобках равно $$2x^{\frac13}$$, значит

   $$A=\left(2x^{\frac13}\right)^{-3}=\frac{1}{8x}.$$

   При $$x=0{,}125=\frac18$$:

   $$A=\frac{1}{8\cdot 0{,}125}=1.$$

6. а)

   $$\lim_{n\to+\infty}\frac{-4n^3+2n^2-1}{3n^3+n^2+11} =\lim_{n\to+\infty}\frac{-4+\frac{2}{n}-\frac{1}{n^3}}{3+\frac{1}{n}+\frac{11}{n^3}} =-\frac43.$$

   б)

   $$\lim_{n\to+\infty}\frac{-3n^4+4n}{2n^3+5n^2+11} =\lim_{n\to+\infty}\frac{-3n+\frac{4}{n^3}}{2+\frac{5}{n}+\frac{11}{n^3}} =-\infty.$$

   в)

   $$\lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt[3]{2n+1}-\sqrt[3]{2n}\right)=0.$$

   г)

   $$\lim_{n\to+\infty}\left(1+3n+5n^2-7n^3\right)=-\infty.$$

7. Пусть $$x$$ — производительность мастера, $$y$$ — производительность ученика, $$t$$ — время выполнения задания четырьмя учениками.

   Тогда

   $$4yt=1,$$

   а для мастера и ученика вместе:

   $$\left(x+y\right)\cdot \frac{4}{3}t=1.$$

   Из первого равенства $$yt=\frac14$$. Подставим во второе:

   $$\frac43t(x+y)=1 \quad \Rightarrow \quad \frac{x+y}{y}=\frac43.$$

   Тогда

   $$\frac{x}{y}+1=\frac43 \quad \Rightarrow \quad \frac{x}{y}=\frac13.$$

   Значит, производительность мастера в $$2$$ раза больше производительности ученика.

Ответ

1) $$\frac14$$; 2) $$\frac14$$; 3) а) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(0;+\infty)$$, функция возрастает; б) $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(0;+\infty)$$, функция убывает; 4) $$-\frac49$$; 5) $$1$$; 6) а) $$-\frac43$$, б) $$-\infty$$, в) $$0$$, г) $$-\infty$$; 7) в $$2$$ раза.