Самостоятельная работа 29 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам ?, ? и ? (рис. 39). Определите значения тангенса и котангенса этих углов.
3. Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем таким углам ?, для каждого из которых справедливо равенство:
а) tg(?)=0; б) tg(?)=v3/3;
в) ctg(?)=1; г) ctg(?)=v3.
Запишите все такие углы ?.

1) Для прямоугольного треугольника используем определения:

$$\tg \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}, \qquad \ctg \alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}.$$

По рисунку получаем:

$$\tg \alpha=\frac{z}{x}, \qquad \ctg \alpha=\frac{x}{z}.$$

2) По координатам точек на единичной окружности:

$$x’=-\sqrt{3}, \qquad \tg \beta=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \qquad \ctg \beta=-\sqrt{3};$$

$$y’=-\sqrt{3}, \qquad \tg \alpha=-\sqrt{3}, \qquad \ctg \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3};$$

$$x’=y’=-1, \qquad \tg \gamma=\ctg \gamma=-1.$$

3) Найдём все углы, для которых выполняются заданные равенства.

1. $$\tg \alpha=0.$$

   Тангенс равен нулю на оси абсцисс:

   $$\alpha=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$\tg \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$

   Это значение тангенса соответствует углу $$\frac{\pi}{6}$$, поэтому

   $$\alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$\ctg \alpha=1.$$

   Так как $$\ctg \alpha=1$$ при $$\alpha=\frac{\pi}{4}$$, то

   $$\alpha=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$\ctg \alpha=\sqrt{3}.$$

   Это значение соответствует углу $$\frac{\pi}{6}$$, значит

   $$\alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

1) $$\tg \alpha=\frac{z}{x}, \ \ctg \alpha=\frac{x}{z}.$$

2) $$\tg \beta=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ \ctg \beta=-\sqrt{3}; \quad \tg \alpha=-\sqrt{3}, \ \ctg \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}; \quad \tg \gamma=\ctg \gamma=-1.$$

3) а) $$\alpha=\pi n$$; б) $$\alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n$$; в) $$\alpha=\frac{\pi}{4}+\pi n$$; г) $$\alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$