Самостоятельная работа 28 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Вычислите:
а) arcsin(v3/2); б) arcsin(-1/2);
в) arccos(v2/2); г) arccos(-1).
3. Упростите (3—4).
а) sin(arcsin(3/7)); б) cos(arccos(4/9));
в) sin(arccos(5/13)); г) cos(arcsin(-12/13)).
4. а) arcsin(sin(2?/5)); б) arccos(sin(0,8?)); г) arcsin(sin(2)).

1. Для точек на единичной окружности используем определения:

   $$\alpha=\arcsin\frac{2}{3},\quad \sin\alpha=\frac{2}{3},\quad \alpha\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$\beta=\arcsin\left(-\frac{2}{3}\right),\quad \sin\beta=-\frac{2}{3},\quad \beta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$

   $$\varphi=\arccos\left(-\frac{2}{3}\right),\quad \cos\varphi=-\frac{2}{3},\quad \varphi\in[0,\pi]$$

   $$\gamma=\arccos\frac{2}{3},\quad \cos\gamma=\frac{2}{3},\quad \gamma\in[0,\pi]$$

2. Вычислим значения:

   $$\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3},\qquad \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{\pi}{6}$$

   $$\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4},\qquad \arccos(-1)=\pi$$

3. Упростим выражения:

   $$\sin\left(\arcsin\frac{3}{7}\right)=\frac{3}{7},\qquad \cos\left(\arccos\frac{4}{9}\right)=\frac{4}{9}$$

   $$\sin\left(\arccos\frac{5}{13}\right)=\sqrt{1-\left(\frac{5}{13}\right)^2}=\sqrt{\frac{144}{169}}=\frac{12}{13}$$

   $$\cos\left(\arcsin\left(-\frac{12}{13}\right)\right)=\sqrt{1-\left(-\frac{12}{13}\right)^2}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$$

4. Упростим выражения:

   $$\arcsin\left(\sin\frac{2\pi}{5}\right)=\frac{2\pi}{5},\qquad -\frac{\pi}{2}<\frac{2\pi}{5}<\frac{\pi}{2}$$

   $$\arccos(\sin 0{,}8\pi)=\arccos\bigl(\cos(0{,}5\pi-0{,}8\pi)\bigr)=\arccos(\cos 0{,}3\pi)=0{,}3\pi$$

   $$\arcsin(\sin 2)=\arcsin(\sin(\pi-2))=\pi-2$$

Ответ

1) Точки, соответствующие углам $$\arcsin\frac{2}{3},\ \arcsin\left(-\frac{2}{3}\right),\ \arccos\left(-\frac{2}{3}\right),\ \arccos\frac{2}{3}$$.
2) $$\frac{\pi}{3},\ -\frac{\pi}{6},\ \frac{\pi}{4},\ \pi$$.
3) $$\frac{3}{7},\ \frac{4}{9},\ \frac{12}{13},\ \frac{5}{13}$$.
4) $$\frac{2\pi}{5},\ 0{,}3\pi,\ \pi-2$$.