Самостоятельная работа 34 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Запишите в виде произведения:
а) $$\sin 110^\circ+\sin 50^\circ$$;
б) $$\sin 110^\circ-\sin 50^\circ$$;
в) $$\cos 110^\circ+\cos 50^\circ$$;
г) $$\cos 110^\circ-\cos 50^\circ$$. - Докажите равенство $$\cos 140^\circ+\cos 80^\circ=-\sqrt{3}\sin 20^\circ$$.
- Вычислите $$\sin\frac{11\pi}{30}-\sin\frac{\pi}{30}-\cos\frac{8\pi}{15}-\cos\frac{2\pi}{15}$$.
- Запишите в виде произведения $$\cos 110^\circ+\cos 105^\circ+\cos 100^\circ$$.
- Докажите равенство $$\frac{\sqrt{3}}{2\sin 40^\circ}-2\sin 10^\circ=1$$.
Используем формулы приведения к произведению:
$$\sin 110^\circ+\sin 50^\circ=2\sin 80^\circ\cos 30^\circ=\sqrt{3}\sin 80^\circ$$
$$\sin 110^\circ-\sin 50^\circ=2\cos 80^\circ\sin 30^\circ=\cos 80^\circ$$
$$\cos 110^\circ+\cos 50^\circ=2\cos 80^\circ\cos 30^\circ=\sqrt{3}\cos 80^\circ$$
$$\cos 110^\circ-\cos 50^\circ=-2\sin 80^\circ\sin 30^\circ=-\sin 80^\circ$$
Докажем равенство:
$$\cos 140^\circ+\cos 80^\circ=2\cos 110^\circ\cos 30^\circ$$
$$2\cos 110^\circ\cos 30^\circ=-2\cos 70^\circ\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=-\sqrt{3}\cos 70^\circ$$
$$\cos 70^\circ=\sin 20^\circ$$
Следовательно,
$$\cos 140^\circ+\cos 80^\circ=-\sqrt{3}\sin 20^\circ.$$Вычислим значение выражения:
$$A=\sin\frac{11\pi}{30}-\sin\frac{\pi}{30}-\cos\frac{8\pi}{15}-\cos\frac{2\pi}{15}$$
$$A=2\sin\frac{10\pi}{60}\cos\frac{12\pi}{60}-2\cos\frac{10\pi}{30}\cos\frac{6\pi}{30}$$
$$A=2\sin\frac{\pi}{6}\cos\frac{\pi}{5}-2\cos\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{5}$$
$$A=\cos\frac{\pi}{5}\left(2\cdot\frac12-2\cdot\frac12\right)=0$$
Запишем в виде произведения:
$$B=\cos 110^\circ+\cos 105^\circ+\cos 100^\circ$$
$$B=2\cos 105^\circ\cos 5^\circ+\cos 105^\circ$$
$$B=\cos 105^\circ\left(2\cos 5^\circ+1\right)$$
$$1=2\cos 60^\circ$$
Тогда
$$B=2\cos 105^\circ\left(\cos 5^\circ+\cos 60^\circ\right)$$$$\cos 5^\circ+\cos 60^\circ=2\cos\frac{65^\circ}{2}\cos\frac{55^\circ}{2}$$
Следовательно,
$$B=4\cos 105^\circ\cos\frac{65^\circ}{2}\cos\frac{55^\circ}{2}.$$Докажем равенство:
$$\frac{\sqrt{3}}{2\sin 40^\circ}-2\sin 10^\circ=1$$
Умножим обе части на $$\sin 40^\circ$$:
$$\frac{\sqrt{3}}{2}-2\sin 10^\circ\sin 40^\circ=\sin 40^\circ$$
$$\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin 60^\circ,\quad \sin 60^\circ-\sin 40^\circ=2\sin 10^\circ\cos 50^\circ$$
Так как $$\cos 50^\circ=\sin 40^\circ,$$ получаем
$$\sin 60^\circ-\sin 40^\circ=2\sin 10^\circ\sin 40^\circ,$$что и требовалось доказать.
Ответ
1) а) $$\sqrt{3}\sin 80^\circ$$; б) $$\cos 80^\circ$$; в) $$\sqrt{3}\cos 80^\circ$$; г) $$-\sin 80^\circ$$.
2) $$\cos 140^\circ+\cos 80^\circ=-\sqrt{3}\sin 20^\circ$$.
3) $$0$$.
4) $$4\cos 105^\circ\cos\frac{65^\circ}{2}\cos\frac{55^\circ}{2}$$.
5) $$1$$.
