Самостоятельная работа 27 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Докажите, что для любых ? справедливо равенство sin(3?+?)=-sin(?).
3. Вычислите (cos(20?/3)-sin(17?/6))·sin(-27,5?):cos(-31?/4).
4. Вычислите (v((1-sin(?))/(1+sin(?)))-v((1+sin(?))/(1-sin(?)))):|sin(?)|, если cos(?)=2/7, 3?/2 < ? < 2?.

1. Дано: $$\sin \alpha=-\frac{8}{17}, \quad \pi<\alpha<\frac{3\pi}{2}.$$

   Так как $$\alpha$$ лежит в III четверти, то $$\cos \alpha<0$$. Тогда

   $$ \cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha} =-\sqrt{1-\frac{64}{289}} =-\sqrt{\frac{225}{289}} =-\frac{15}{17}. $$

2. Используем формулу приведения:

   $$ \sin(3\pi+\alpha)=\sin(\pi+2\pi+\alpha)=-\sin(2\pi+\alpha)=-\sin\alpha. $$

   Следовательно, равенство верно для любых $$\alpha$$.

3. Вычислим:

   $$ S=\left(\cos\frac{20\pi}{3}-\sin\frac{17\pi}{6}\right)\cdot \sin(-27{,}5\pi):\cos\left(-\frac{31\pi}{4}\right). $$

   Сведём углы к удобному виду:

   $$ \cos\frac{20\pi}{3}=\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12,\qquad \sin\frac{17\pi}{6}=\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12, $$

   $$ \sin(-27{,}5\pi)=\sin\left(-\frac{55\pi}{2}\right)=\sin\frac{\pi}{2}=1, \qquad \cos\left(-\frac{31\pi}{4}\right)=\cos\frac{31\pi}{4}=\cos\frac{7\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}. $$

   Тогда

   $$ S=\left(-\frac12-\frac12\right)\cdot 1:\frac{\sqrt2}{2} =(-1)\cdot \frac{2}{\sqrt2} =-\sqrt2. $$

4. Пусть

   $$ S=\left(\sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}-\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}}\right):|\sin\alpha|, \quad \frac{3\pi}{2}<\alpha<2\pi,\quad \cos\alpha=\frac27. $$

   Так как $$\alpha$$ в IV четверти, то $$\sin\alpha<0$$, значит $$|\sin\alpha|=-\sin\alpha$$. Преобразуем выражение:

   $$ \sqrt{\frac{1-\sin\alpha}{1+\sin\alpha}}-\sqrt{\frac{1+\sin\alpha}{1-\sin\alpha}} = \frac{(1-\sin\alpha)-(1+\sin\alpha)}{\sqrt{(1+\sin\alpha)(1-\sin\alpha)}} = \frac{-2\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}. $$

   Так как $$\sqrt{1-\sin^2\alpha}=|\cos\alpha|$$, получаем

   $$ S=\frac{-2\sin\alpha}{|\cos\alpha|}:(-\sin\alpha)=\frac{2}{|\cos\alpha|}. $$

   В IV четверти $$\cos\alpha>0$$, значит $$|\cos\alpha|=\cos\alpha=\frac27$$. Тогда

   $$ S=\frac{2}{2/7}=7. $$

Ответ

1) $$-\frac{15}{17}$$; 2) верно; 3) $$-\sqrt2$$; 4) $$7$$.