Самостоятельная работа 26 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам ?, ?, ? и ? (рис. 31). Определите значения синуса и косинуса каждого из этих углов.
3. Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем таким углам ?, для каждого из которых справедливо равенство:
а) sin(?)=v2/2; б) sin(?)=-1;
в) cos(?)=1/2; г) cos(?)=-v3/2.
Запишите все такие углы ?.

1. Для острого угла прямоугольного треугольника используем определения:

   $$\sin \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}, \qquad \cos \alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}.$$

   По рисунку 30 подставляем соответствующие длины катетов и гипотенузы и находим значения синуса и косинуса данного угла.

2. На единичной окружности координаты точки, соответствующей углу $\alpha$, равны:

   $$x=\cos \alpha,\qquad y=\sin \alpha.$$

   По рисунку 31 получаем:

   $$\alpha=\frac{\pi}{6},\quad \sin \alpha=\frac12,\quad \cos \alpha=\frac{\sqrt3}{2};$$

   $$\beta=\frac{5\pi}{6},\quad \sin \beta=\frac12,\quad \cos \beta=-\frac{\sqrt3}{2};$$

   $$\gamma=\frac{7\pi}{6},\quad \sin \gamma=-\frac12,\quad \cos \gamma=-\frac{\sqrt3}{2};$$

   $$\varphi=\frac{11\pi}{6},\quad \sin \varphi=-\frac12,\quad \cos \varphi=\frac{\sqrt3}{2}.$$

3. Используем значения синуса и косинуса на единичной окружности.

   а) $$\sin \alpha=\frac{\sqrt2}{2}.$$

   Это возможно при углах

   $$\alpha=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad \alpha=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   б) $$\sin \alpha=-1.$$

   Тогда

   $$\alpha=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   в) $$\cos \alpha=\frac12.$$

   Тогда

   $$\alpha=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

   г) $$\cos \alpha=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

   Тогда

   $$\alpha=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$\sin \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}},\quad \cos \alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}.$$

2) $$\sin \frac{\pi}{6}=\frac12,\ \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2};\ \sin \frac{5\pi}{6}=\frac12,\ \cos \frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2};\ \sin \frac{7\pi}{6}=-\frac12,\ \cos \frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2};\ \sin \frac{11\pi}{6}=-\frac12,\ \cos \frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}.$$

3) а) $$\alpha=\frac{\pi}{4}+2\pi n,\ \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ б) $$\alpha=\frac{3\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ в) $$\alpha=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$ г) $$\alpha=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$