Самостоятельная работа 32 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Вычислите:
а) $$\sin(28^\circ)\cos(17^\circ)+\sin(17^\circ)\cos(28^\circ)$$;
б) $$\sin\left(\frac{2?}{5}\right)\cos\left(\frac{7?}{30}\right)-\sin\left(\frac{2?}{5}\right)\cos\left(\frac{7?}{30}\right)$$. - Упростите выражение $$\cos(3x-2y)\cos(x-2y)+\sin(3x-2y)\sin(x-2y)$$.
- Вычислите $$\frac{\cos(59^\circ)\cos(29^\circ)+\sin(59^\circ)\sin(29^\circ)}{\sin(73^\circ)\cos(43^\circ)-\sin(43^\circ)\cos(73^\circ)}$$.
- Сравните $$\frac{\sin(67^\circ)\cos(73^\circ)+\sin(73^\circ)\cos(67^\circ)}{\cos(55^\circ)\cos(65^\circ)-\sin(55^\circ)\sin(65^\circ)}$$ и $$\frac{\sin(36^\circ)+\cos(36^\circ)}{1-\cos(72^\circ)+\sin(72^\circ)}$$.
- Найдите наименьшее и наибольшее значения выражения $$\sqrt{3}\sin(x)+\cos(x)$$.
- Вычислите $$\cos\left(\arccos\left(\frac{12}{13}\right)+\arccos(0{,}8)\right)$$.
$$\sin 28^\circ \cos 17^\circ+\sin 17^\circ \cos 28^\circ=\sin(28^\circ+17^\circ)=\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}.$$
$$\sin \frac{2\pi}{5}\cos \frac{7\pi}{30}-\sin \frac{7\pi}{30}\cos \frac{2\pi}{5}=\sin\left(\frac{2\pi}{5}-\frac{7\pi}{30}\right)=\sin \frac{\pi}{6}=\frac12.$$
$$\cos(3x-2y)\cos(x-2y)+\sin(3x-2y)\sin(x-2y)$$
$$=\cos\bigl((3x-2y)-(x-2y)\bigr)=\cos 2x.$$
$$\frac{\cos 59^\circ \cos 29^\circ+\sin 59^\circ \sin 29^\circ}{\sin 73^\circ \cos 43^\circ-\sin 43^\circ \cos 73^\circ}$$
$$=\frac{\cos(59^\circ-29^\circ)}{\sin(73^\circ-43^\circ)}=\frac{\cos 30^\circ}{\sin 30^\circ}=\sqrt3.$$
$$A=\frac{\sin 67^\circ \cos 73^\circ+\sin 73^\circ \cos 67^\circ}{\cos 55^\circ \cos 65^\circ-\sin 55^\circ \sin 65^\circ}$$
$$=\frac{\sin(67^\circ+73^\circ)}{\cos(55^\circ+65^\circ)}=\frac{\sin 140^\circ}{\cos 120^\circ}=\frac{\sin 40^\circ}{-\frac12}<0.$$
$$B=\frac{\sin 36^\circ+\cos 36^\circ}{1-\cos 72^\circ+\sin 72^\circ}>0.$$
Значит, $$B>A$$, то есть второе выражение больше первого.
$$\sqrt3\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt3}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{6}+\cos x\sin\frac{\pi}{6}\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$
Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то
$$-2\le 2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le 2.$$
Наименьшее значение равно $$-2,$$ наибольшее — $$2.$$
Пусть $$\alpha=\arccos\frac{12}{13},\quad \beta=\arccos 0{,}8.$$ Тогда
$$\cos\alpha=\frac{12}{13},\qquad \cos\beta=0{,}8=\frac45.$$
Так как углы из промежутка $$[0;\pi]$$, то
$$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13},$$
$$\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35.$$
Тогда
$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$
$$=\frac{12}{13}\cdot\frac45-\frac{5}{13}\cdot\frac35=\frac{48}{65}-\frac{15}{65}=\frac{33}{65}.$$
Ответ
1) $$\frac{\sqrt2}{2}$$; $$\frac12$$; 2) $$\cos 2x$$; 3) $$\sqrt3$$; 4) второе выражение больше первого; 5) $$-2$$ и $$2$$; 6) $$\frac{33}{65}$$.
