Самостоятельная работа 23 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
а) 625·2^x-16·5^x=0;
б) 3^(x-4)-3^(x-6)=2^(x-3);
в) 4^(x+1)-13·6^x+9^(x+1)=0.
2. Решите неравенство:
а) 6^(x-1) < 2^(2x-2);
б) 3^(x+3)-2·3^x > 9·5^x;
в) 12·9^x+12·16^x < 25·12^x.
а) $$625\cdot 2^x-16\cdot 5^x=0$$
$$625\cdot 2^x=16\cdot 5^x$$
$$\frac{5^x}{2^x}=\frac{625}{16}$$
$$\left(\frac{5}{2}\right)^x=\left(\frac{5}{2}\right)^4$$
Следовательно, $$x=4$$.
б) $$3^{x-4}-3^{x-6}=2^{x-3}$$
$$\frac{1}{81}\cdot 3^x-\frac{1}{729}\cdot 3^x=\frac{1}{8}\cdot 2^x$$
$$\frac{8}{729}\cdot 3^x=\frac{2^x}{8}$$
$$\frac{3^x}{2^x}=\frac{729}{64}$$
$$\left(\frac{3}{2}\right)^x=\left(\frac{3}{2}\right)^6$$
Значит, $$x=6$$.
в) $$4^{x+1}-13\cdot 6^x+9^{x+1}=0$$
$$4\cdot 4^x-13\cdot 6^x+9\cdot 9^x=0$$
$$4\left(\frac{4}{9}\right)^x-13\left(\frac{2}{3}\right)^x+9=0$$
Положим $$y=\left(\frac{2}{3}\right)^x$$. Тогда $$\left(\frac{4}{9}\right)^x=y^2$$, и получаем:
$$4y^2-13y+9=0$$
$$D=13^2-4\cdot 4\cdot 9=169-144=25$$
$$y_1=\frac{13-5}{8}=1,\qquad y_2=\frac{13+5}{8}=\frac{9}{4}$$
1) $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=1 \Rightarrow x=0$$;
2) $$\left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{9}{4}=\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} \Rightarrow x=-2$$.
а) $$6^{x-1}<2^{2x-2}$$
$$\frac{1}{6}\cdot 6^x<\frac{1}{4}\cdot 4^x$$
$$\left(\frac{6}{4}\right)^x<\frac{6}{4}$$
Так как $$\frac{6}{4}>1$$, то $$x<1$$.
б) $$3^{x+3}-2\cdot 3^x>9\cdot 5^x$$
$$27\cdot 3^x-2\cdot 3^x>9\cdot 5^x$$
$$25\cdot 3^x>9\cdot 5^x$$
$$\frac{5^x}{3^x}<\frac{25}{9}$$
$$\left(\frac{5}{3}\right)^x<\left(\frac{5}{3}\right)^2$$
Следовательно, $$x<2$$.
в) $$12\cdot 9^x+12\cdot 16^x<25\cdot 12^x$$
$$12\cdot 16^x-25\cdot 12^x+12\cdot 9^x<0$$
$$12\left(\frac{16}{9}\right)^x-25\left(\frac{4}{3}\right)^x+12<0$$
Положим $$y=\left(\frac{4}{3}\right)^x$$. Тогда $$\left(\frac{16}{9}\right)^x=y^2$$, и получаем:
$$12y^2-25y+12<0$$
$$D=25^2-4\cdot 12\cdot 12=625-576=49$$
$$y_1=\frac{25-7}{24}=\frac{3}{4},\qquad y_2=\frac{25+7}{24}=\frac{4}{3}$$
Тогда
$$\frac{3}{4}<\left(\frac{4}{3}\right)^x<\frac{4}{3}$$
$$\left(\frac{4}{3}\right)^{-1}<\left(\frac{4}{3}\right)^x<\left(\frac{4}{3}\right)^1$$
Так как основание $$\frac{4}{3}>1$$, получаем $$-1<x<1$$.
Ответ
1) а) $$4$$; б) $$6$$; в) $$-2,\,0$$.
2) а) $$(-\infty;1)$$; б) $$(-\infty;2)$$; в) $$(-1;1)$$.
