Самостоятельная работа 29 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
- Определите тангенс и котангенс острого угла $$?$$ прямоугольного треугольника (рис. 38).
- На единичной окружности отмечены точки, соответствующие углам $$?$$, $$?$$ и $$?$$ (рис. 39). Определите значения тангенса и котангенса этих углов.
- Изобразите на единичной окружности точки, соответствующие всем таким углам $$?$$, для каждого из которых справедливо равенство:
а) $$\operatorname{tg}(?)=0$$;
б) $$\operatorname{tg}(?)=\frac{\sqrt{3}}{3}$$;
в) $$\operatorname{ctg}(?)=1$$;
г) $$\operatorname{ctg}(?)=\sqrt{3}$$.
Запишите все такие углы $$?$$.
1) Для прямоугольного треугольника используем определения:
$$\tg \alpha=\frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}}, \qquad \ctg \alpha=\frac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}.$$
По рисунку получаем:
$$\tg \alpha=\frac{z}{x}, \qquad \ctg \alpha=\frac{x}{z}.$$
2) По координатам точек на единичной окружности:
$$x’=-\sqrt{3}, \qquad \tg \beta=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \qquad \ctg \beta=-\sqrt{3};$$
$$y’=-\sqrt{3}, \qquad \tg \alpha=-\sqrt{3}, \qquad \ctg \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3};$$
$$x’=y’=-1, \qquad \tg \gamma=\ctg \gamma=-1.$$
3) Найдём все углы, для которых выполняются заданные равенства.
$$\tg \alpha=0.$$
Тангенс равен нулю на оси абсцисс:
$$\alpha=\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
$$\tg \alpha=\frac{\sqrt{3}}{3}.$$
Это значение тангенса соответствует углу $$\frac{\pi}{6}$$, поэтому
$$\alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
$$\ctg \alpha=1.$$
Так как $$\ctg \alpha=1$$ при $$\alpha=\frac{\pi}{4}$$, то
$$\alpha=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
$$\ctg \alpha=\sqrt{3}.$$
Это значение соответствует углу $$\frac{\pi}{6}$$, значит
$$\alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
Ответ
1) $$\tg \alpha=\frac{z}{x}, \ \ctg \alpha=\frac{x}{z}.$$
2) $$\tg \beta=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \ \ctg \beta=-\sqrt{3}; \quad \tg \alpha=-\sqrt{3}, \ \ctg \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}; \quad \tg \gamma=\ctg \gamma=-1.$$
3) а) $$\alpha=\pi n$$; б) $$\alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n$$; в) $$\alpha=\frac{\pi}{4}+\pi n$$; г) $$\alpha=\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$
