Самостоятельная работа 22 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)
1. а) 4^x < 8; б) (0,6)^x?-0,6; в) (1/3)^(2x+5)?9;
г) log(5; x) < -1; д) log(0,3; 4x+2)?-1; е) 6^x-33·6^(x-2) > 18.
2. а) (1/4)^x-6·(1/2)^x?-8; б) 16^x-2·4^x+1 > 0;
в) (lg(x))^2+lg(x)-2 > 0; г) (log(0,5; x))^2+log(0,5; x)-6 < 0.
3. а) log(5; 12,5)/(2-log(5; x))?1; б) 4^x-4·2^x+3+1/(4^x-4·2^x+5) > 0;
в) (4-v15)^(2x)-8·(1/(4+v15))^x+1?0.
1.
а) $$4^x<8$$
$$4^x<4^{\frac32}$$
$$x<\frac32$$
$$(-\infty;\,\frac32)$$
б) $$0{,}6^x\ge -0{,}6$$
Так как $$0{,}6^x>0$$ при любом $$x\in\mathbb R$$, то неравенство верно для всех $$x$$.
$$(-\infty;\,+\infty)$$
в) $$\left(\frac13\right)^{2x+5}\le 9$$
$$9=\left(\frac13\right)^{-2}$$
Так как основание $$\frac13<1$$, получаем:
$$2x+5\ge -2$$
$$2x\ge -7$$
$$x\ge -\frac72$$
$$\left[-\frac72;\,+\infty\right)$$
г) $$\log_5 x<-1$$
$$0<x<5^{-1}$$
$$0<x<\frac15$$
$$\left(0;\,\frac15\right)$$
д) $$\log_{0{,}3}(4x+2)\ge -1$$
ОДЗ: $$4x+2>0$$.
Так как $$0<0{,}3<1$$, знак неравенства меняется:
$$4x+2\le 0{,}3^{-1}=\frac{10}{3}$$
$$0<4x+2\le \frac{10}{3}$$
$$-2<4x\le \frac43$$
$$-\frac12<x\le \frac13$$
$$\left(-\frac12;\,\frac13\right]$$
е) $$6^x-33\cdot 6^{x-2}>18$$
$$6^{x-2}=\frac{6^x}{36}$$
$$6^x-\frac{33}{36}\cdot 6^x>18$$
$$\frac{1}{12}\cdot 6^x>18$$
$$6^x>216=6^3$$
$$x>3$$
$$ (3;\,+\infty) $$
2.
а) $$\left(\frac14\right)^x-6\left(\frac12\right)^x\le -8$$
Положим $$y=\left(\frac12\right)^x$$, тогда $$\left(\frac14\right)^x=y^2$$:
$$y^2-6y+8\le 0$$
$$ (y-2)(y-4)\le 0 $$
$$2\le y\le 4$$
Так как $$y=\left(\frac12\right)^x$$, то:
$$2\le \left(\frac12\right)^x\le 4$$
$$x\le -1,\quad x\ge -2$$
$$[-2;\,-1]$$
б) $$16^x-2\cdot 4^x+1>0$$
Положим $$y=4^x>0$$, тогда $$16^x=y^2$$:
$$y^2-2y+1>0$$
$$ (y-1)^2>0 $$
$$y\ne 1$$
$$4^x\ne 1,\quad x\ne 0$$
$$(-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$$
в) $$\lg^2 x+\lg x-2>0$$
Положим $$y=\lg x$$:
$$y^2+y-2>0$$
$$ (y+2)(y-1)>0 $$
$$y<-2 \quad \text{или} \quad y>1$$
$$\lg x<-2 \quad \text{или} \quad \lg x>1$$
$$0<x<0{,}01 \quad \text{или} \quad x>10$$
$$ (0;\,0{,}01)\cup(10;\,+\infty) $$
г) $$\log_{0{,}5}^2 x+\log_{0{,}5} x-6<0$$
Положим $$y=\log_{0{,}5}x$$:
$$y^2+y-6<0$$
$$ (y+3)(y-2)<0 $$
$$-3<y<2$$
Так как основание $$0{,}5<1$$, получаем:
$$-3<\log_{0{,}5}x<2$$
$$2^{-2}<x<2^3$$
$$0{,}25<x<8$$
$$ (0{,}25;\,8) $$
3.
а) $$\frac{\log_5 12{,}5}{2-\log_5 x}\le 1$$
Положим $$y=2-\log_5 x$$. Тогда $$\log_5 12{,}5=\log_5\frac{25}{2}=2-\log_5 2$$, но удобнее рассмотреть знак знаменателя.
1) Если $$y>0$$, то
$$\log_5 12{,}5\le y$$
$$2-\log_5 x\ge \log_5 12{,}5$$
$$\log_5 x\le 2-\log_5 12{,}5=\log_5 2$$
$$0<x\le 2$$
2) Если $$y<0$$, то
$$\log_5 12{,}5\ge y$$
$$2-\log_5 x\le \log_5 12{,}5$$
$$x>25$$
Итак,
$$ (0;\,2]\cup(25;\,+\infty) $$
б) $$4^x-4\cdot 2^x+3+\frac{1}{4^x-4\cdot 2^x+5}>0$$
Положим $$y=4^x-4\cdot 2^x+3$$. Тогда
$$y+\frac{1}{y+2}>0$$
$$\frac{y(y+2)+1}{y+2}>0$$
$$\frac{(y+1)^2}{y+2}>0$$
Числитель положителен при $$y\ne -1$$, поэтому нужно:
$$y+2>0,\quad y\ne -1$$
$$4^x-4\cdot 2^x+5>0,\quad 4^x-4\cdot 2^x+3\ne -1$$
Положим $$z=2^x>0$$. Тогда
$$z^2-4z+5>0$$
$$ (z-2)^2+1>0 $$
Это верно при всех $$z$$, а условие $$y\ne -1$$ даёт $$z\ne 2$$, то есть $$x\ne 1$$.
$$(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)$$
в) $$\left(4-\sqrt{15}\right)^{2x}-8\left(\frac{1}{4+\sqrt{15}}\right)^x+1\ge 0$$
Заметим, что
$$\frac{1}{4+\sqrt{15}}=4-\sqrt{15}$$
Тогда, положив $$y=\left(4-\sqrt{15}\right)^x>0$$, получаем:
$$y^2-8y+1\ge 0$$
$$D=64-4=60$$
$$y_{1,2}=4\pm \sqrt{15}$$
Так как $$0<4-\sqrt{15}<1$$, то
$$y\le 4-\sqrt{15}\quad \text{или} \quad y\ge 4+\sqrt{15}$$
Отсюда
$$x\ge 1 \quad \text{или} \quad x\le -1$$
$$(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty)$$
Ответ
1) а) $$(-\infty;\,\frac32)$$; б) $$(-\infty;\,+\infty)$$; в) $$\left[-\frac72;\,+\infty\right)$$; г) $$\left(0;\,\frac15\right)$$; д) $$\left(-\frac12;\,\frac13\right]$$; е) $$(3;\,+\infty)$$.
2) а) $$[-2;\,-1]$$; б) $$(-\infty;\,0)\cup(0;\,+\infty)$$; в) $$(0;\,0{,}01)\cup(10;\,+\infty)$$; г) $$(0{,}25;\,8)$$.
3) а) $$(0;\,2]\cup(25;\,+\infty)$$; б) $$(-\infty;\,1)\cup(1;\,+\infty)$$; в) $$(-\infty;\,-1]\cup[1;\,+\infty)$$.
