Самостоятельная работа 21 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

1. а) (1/4)^x=64; б) 5^(3x-4)=25;
в) log(6; x)=-2; г) log(1/4; 2x+1)=-1.
2. а) 9^x-3^(2x-2)=72; б) log(3; x)-log(9; x)+log(81; x)=3;
в) log(2; 1+log(1/2; x))=2.
3. а) 36^x-5·6^x=6; б) 3^(4x-7)-10·3^(2x-4)+3=0;
в) 3^(2x-1)-8/(3^(2x-1)-1)=-1; г) log(2; x)-3log(x; 4)=1;
д) log(3; 4x-3)-5/(log(3; 4x-3)+3)-1=0.

1. а) $$\left(\frac14\right)^x=64$$

   $$4^{-x}=4^3$$

   $$-x=3,\quad x=-3$$

   б) $$5^{3x-4}=25$$

   $$5^{3x-4}=5^2$$

   $$3x-4=2,\quad 3x=6,\quad x=2$$

   в) $$\log_6 x=-2$$

   $$x=6^{-2}=\frac{1}{36}$$

   г) $$\log_{\frac14}(2x+1)=-1$$

   $$2x+1=\left(\frac14\right)^{-1}=4$$

   $$2x=3,\quad x=\frac32$$

2. а) $$9^x-3^{2x-2}=72$$

   $$3^{2x}-\frac19\cdot 3^{2x}=72$$

   $$\frac89\cdot 3^{2x}=72,\quad 3^{2x}=81$$

   $$2x=4,\quad x=2$$

   б) $$\log_3 x-\log_9 x+\log_{81} x=3$$

   $$\log_9 x=\frac12\log_3 x,\quad \log_{81} x=\frac14\log_3 x$$

   $$\log_3 x-\frac12\log_3 x+\frac14\log_3 x=3$$

   $$\frac34\log_3 x=3,\quad \log_3 x=4,\quad x=3^4=81$$

   в) $$\log_2\!\left(1+\log_{\frac12} x\right)=2$$

   $$1+\log_{\frac12} x=2^2=4$$

   $$\log_{\frac12} x=3,\quad x=\left(\frac12\right)^3=\frac18$$

3. а) $$36^x-5\cdot 6^x=6$$

   Пусть $$y=6^x,\quad y>0.$$ Тогда

   $$y^2-5y=6$$

   $$y^2-5y-6=0$$

   $$D=25+24=49$$

   $$y_1=\frac{5-7}{2}=-1,\quad y_2=\frac{5+7}{2}=6$$

   Так как $$y>0,$$ подходит только $$y=6.$$ Тогда

   $$6^x=6,\quad x=1$$

   б) $$3^{4x-7}-10\cdot 3^{2x-4}+3=0$$

   $$3\cdot 3^{4x-8}-10\cdot 3^{2x-4}+3=0$$

   Пусть $$y=3^{2x-4},\quad y>0.$$ Тогда

   $$3y^2-10y+3=0$$

   $$D=100-36=64$$

   $$y_1=\frac{10-8}{6}=\frac13,\quad y_2=\frac{10+8}{6}=3$$

   1) $$3^{2x-4}=\frac13=3^{-1}$$

   $$2x-4=-1,\quad x=\frac32$$

   2) $$3^{2x-4}=3$$

   $$2x-4=1,\quad x=\frac52$$

   в) $$3^{2x-1}-\frac{8}{3^{2x-1}-1}=-1$$

   Пусть $$y=3^{2x-1},\quad y>0,\quad y\ne 1.$$ Тогда

   $$y-\frac{8}{y-1}=-1$$

   $$y(y-1)-8=-(y-1)$$

   $$y^2-9=0,\quad y=\pm 3$$

   Так как $$y>0,$$ получаем $$y=3.$$ Тогда

   $$3^{2x-1}=3,\quad 2x-1=1,\quad x=1$$

   г) $$\log_2 x-3\log_x 4=1$$

   $$\log_x 4=\frac{\log_2 4}{\log_2 x}=\frac{2}{\log_2 x}$$

   Пусть $$y=\log_2 x,\quad y\ne 0.$$ Тогда

   $$y-\frac{6}{y}=1$$

   $$y^2-y-6=0$$

   $$D=25,\quad y_1=-2,\quad y_2=3$$

   $$x_1=2^{-2}=\frac14,\quad x_2=2^3=8$$

   д) $$\log_3(4x-3)-\frac{5}{\log_3(4x-3)+3}-1=0$$

   Пусть $$y=\log_3(4x-3),\quad y\ne -3.$$ Тогда

   $$y-\frac{5}{y+3}-1=0$$

   $$y(y+3)-5=(y+3)$$

   $$y^2+2y-8=0$$

   $$D=36,\quad y_1=-4,\quad y_2=2$$

   1) $$\log_3(4x-3)=-4,\quad 4x-3=3^{-4}=\frac{1}{81},\quad x=\frac{61}{81}$$

   2) $$\log_3(4x-3)=2,\quad 4x-3=9,\quad x=3$$

Ответ

1) а) $$-3$$; б) $$2$$; в) $$\frac{1}{36}$$; г) $$\frac32$$.
2) а) $$2$$; б) $$81$$; в) $$\frac18$$.
3) а) $$1$$; б) $$\frac32,\ \frac52$$; в) $$1$$; г) $$\frac14,\ 8$$; д) $$\frac{61}{81},\ 3$$.