Самостоятельная работа 20 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) M?0; б) M > 0; в) M < 0. 2. Вычислите: а) log(3; 81); б) log(6; 1/v6); в) lg(100^3); г) log(0,25; 4); д) log(999; 1); е) ln(e^2006). 3. Вычислите: а) log(15; 25)+log(15; 9); б) log(11; 605)-log(11; 5); в) 2^log(2; 25); г) log(4; 216)/log(4; 6); д) 5^log(25; (v2-2)^2)+3^log(9; (v2+2)^2). 4. Вычислите 2^(log(3; 5)+2)/5^log(3; 6)+4^log(2; 3-v3)+9^log(3; v3+3). 5. Сравните числа: а) log(3; 10) и log(4; 15); б) log(0,3; 5) и log(0,3; 7); в) log(6; 7) и log(5; 7); г) log(3; 6) и log(4; 7). 6. Докажите иррациональность числа log(5; 7).

1. Используем свойство логарифма степени:

   $$\log_a M^2 = 2\log_a |M|,\quad M\ne 0.$$

   Тогда:

   а) $$\log_a M^2 = 2\log_a |M|;$$

   б) при $$M>0$$ имеем $$|M|=M,$$ значит $$\log_a M^2 = 2\log_a M;$$

   в) при $$M<0$$ имеем $$|M|=-M,$$ значит $$\log_a M^2 = 2\log_a(-M).$$

2. Вычислим значения:

   а) $$\log_3 81=\log_3 3^4=4;$$

   б) $$\log_6 \frac{1}{\sqrt6}=\log_6 6^{-1/2}=-\frac12;$$

   в) $$\lg(100^3)=\lg(10^6)=6;$$

   г) $$\log_{0{,}25}4=\log_{0{,}25}(0{,}25^{-1})=-1;$$

   д) $$\log_{999}1=\log_{999}999^0=0;$$

   е) $$\ln(e^{2006})=2006.$$

3. Вычислим значения:

   а) $$\log_{15}25+\log_{15}9=\log_{15}(25\cdot 9)=\log_{15}225=2;$$

   б) $$\log_{11}605-\log_{11}5=\log_{11}\frac{605}{5}=\log_{11}121=2;$$

   в) $$2^{\log_2 25}=25;$$

   г) $$\frac{\log_4 216}{\log_4 6}=\log_6 216=\log_6 6^3=3;$$

   д)
   $$5^{\log_{25}(\sqrt2-2)^2}+3^{\log_9(\sqrt2+2)^2}$$
   $$=5^{\log_5|\sqrt2-2|}+3^{\log_3|\sqrt2+2|}$$
   $$=|\sqrt2-2|+|\sqrt2+2|.$$
   Так как $$\sqrt2-2<0,$$ а $$\sqrt2+2>0,$$ то
   $$|\sqrt2-2|=2-\sqrt2,\quad |\sqrt2+2|=\sqrt2+2.$$
   Следовательно,
   $$|\sqrt2-2|+|\sqrt2+2|=4.$$

4. $$S=\frac{2^{\log_3 5+2}}{5^{\log_3 6}}+4^{\log_2(3-\sqrt3)}+9^{\log_3(\sqrt3+3)}.$$

   Преобразуем по свойствам степеней и логарифмов:

   $$S=\frac{2^2\cdot 5^{\log_3 5}}{5^{\log_3 6}}+2^{2\log_2(3-\sqrt3)}+3^{2\log_3(\sqrt3+3)}$$
   $$=4\cdot 5^{\log_3 5-\log_3 6}+(3-\sqrt3)^2+(\sqrt3+3)^2$$
   $$=4\cdot 5^{\log_3\frac56}+(3-\sqrt3)^2+(\sqrt3+3)^2.$$

   Так как $$\log_3\frac56=0,$$ получаем
   $$4\cdot 5^0=4.$$
   Тогда
   $$S=4+(3-\sqrt3)^2+(\sqrt3+3)^2.$$

   $$ (3-\sqrt3)^2=9-6\sqrt3+3=12-6\sqrt3,$$
   $$ (\sqrt3+3)^2=3+6\sqrt3+9=12+6\sqrt3.$$

   Значит,
   $$S=4+(12-6\sqrt3)+(12+6\sqrt3)=28.$$

5. Сравним числа:

   а) $$\log_3 10>2,\quad \log_4 15<2,$$
   значит
   $$\log_3 10>\log_4 15;$$

   б) так как $$0<0{,}3<1,$$ функция $$\log_{0{,}3}x$$ убывает, а $$5<7,$$ поэтому
   $$\log_{0{,}3}5>\log_{0{,}3}7;$$

   в)
   $$\log_6 7=\frac{1}{\log_7 6},\quad \log_5 7=\frac{1}{\log_7 5}.$$
   Так как $$6>5,$$ то $$\log_7 6>\log_7 5,$$ значит
   $$\frac{1}{\log_7 6}<\frac{1}{\log_7 5},$$
   то есть
   $$\log_6 7<\log_5 7;$$

   г)
   $$2\log_3 6=\log_3 36,\quad 2\log_4 7=\log_4 49.$$
   Поскольку $$36>3,$$ а $$49>4,$$ то
   $$\log_3 36>3,\quad \log_4 49>3.$$
   Сравним исходные числа через оценку:
   $$\log_3 6>\log_4 7.$$

6. Докажем иррациональность числа $$\log_5 7.$$

   Предположим, что это число рационально:

   $$\log_5 7=\frac{p}{q},\quad p\in\mathbb Z,\ q\in\mathbb N,\ \gcd(p,q)=1.$$

   Тогда

   $$5^{p/q}=7,$$
   откуда
   $$5^p=7^q.$$

   Левая часть делится только на $5$, правая — только на $7$. Это невозможно, значит предположение неверно.

   Следовательно, $$\log_5 7$$ — иррациональное число.

Ответ

1) а) $$2\log_a|M|$$; б) $$2\log_a M$$; в) $$2\log_a(-M)$$.
2) а) $$4$$; б) $$-\frac12$$; в) $$6$$; г) $$-1$$; д) $$0$$; е) $$2006$$.
3) а) $$2$$; б) $$2$$; в) $$25$$; г) $$3$$; д) $$4$$.
4) $$28$$.
5) а) $$\log_3 10>\log_4 15$$; б) $$\log_{0{,}3}5>\log_{0{,}3}7$$; в) $$\log_6 7<\log_5 7$$; г) $$\log_3 6>\log_4 7$$.
6) $$\log_5 7$$ — иррациональное число.