Контрольная работа 2 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

а) (4^10)^(1/10)=4; б) ((-5)^10)^(1/10)=5;
в) (6^10)^(1/10)=-6; г) ((-7)^10)^(1/10)=-7?
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а) 5/4^(1/3); б) 6^(1/3)/(6^(1/3)+1); в) 3/(49^(1/3)+7^(1/3)+1).
3. Вычислите:
а) (2002^2+2·2002·498+498^2)^(1/4);
б) (2001^3-3·2001^2·189+3·2001·189^2-189^3)^(1/3).
4. Упростите выражение (a^(1/6)-b^(1/6))(a^(1/3)+(ab)^(1/6)+b^(1/3))(va+vb).
5*. Вычислите 75^(1/3)-3^(1/3)·(5^(1/3))^2+13/(49^(1/3)-42^(1/3)+36^(1/3))-49^(1/6)-36^(1/6).
6*. Найдите значение выражения (x(xvx)^(1/4))^(1/3) при x=(125^8)^(1/11).
7*. Моторная лодка проходит расстояние между пристанями А и В по течению реки за 20 мин, а против течения за 1 ч. Во сколько раз собственная скорость моторной лодки больше скорости течения реки?

1. Используем свойство степени с натуральным показателем и корня чётной степени:

   $$\sqrt[10]{4^{10}}=4,$$
   $$\sqrt[10]{(-5)^{10}}=5,$$
   $$\sqrt[10]{6^{10}}=6,$$
   $$\sqrt[10]{(-7)^{10}}=7.$$

   Значит, верны равенства а) и б), неверны в) и г).

2. Рационализируем знаменатели:

   $$\frac{5}{\sqrt[3]{4}}=\frac{5}{\sqrt[3]{2^2}}=\frac{5\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2^3}}=\frac{5\sqrt[3]{2}}{2},$$
   $$\frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{6}+1}=\frac{\sqrt[3]{6}\,(\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{6}+1)}{(\sqrt[3]{6}+1)(\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{6}+1)}=\frac{6-\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{6}}{7},$$
   $$\frac{3}{\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}+1}=\frac{3(\sqrt[3]{7}-1)}{(\sqrt[3]{7}-1)(\sqrt[3]{49}+\sqrt[3]{7}+1)}=\frac{\sqrt[3]{7}-1}{2}.$$

3. $$\sqrt[4]{2002^2+2\cdot 2002\cdot 498+498^2}=\sqrt[4]{(2002+498)^2}=\sqrt[4]{2500^2}=\sqrt{2500}=50,$$

   $$\sqrt[3]{2001^3-3\cdot 2001^2\cdot 189+3\cdot 2001\cdot 189^2-189^3}=\sqrt[3]{(2001-189)^3}=\sqrt[3]{1812^3}=1812.$$

4. $$\left(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b}\right)(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$

   $$=\left(\sqrt[6]{a^3}-\sqrt[6]{b^3}\right)(\sqrt{a}+\sqrt{b})$$
   $$=a-b.$$

5. $$\sqrt[3]{75}-\sqrt[3]{3}\cdot \left(\sqrt[3]{5}\right)^2+\frac{13}{\sqrt[3]{49}-\sqrt[3]{42}+\sqrt[3]{36}}-\sqrt[6]{49}-\sqrt[6]{36}$$

   $$=\sqrt[3]{3\cdot 25}-\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{25}+\frac{13(\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{6})}{7+6}-\sqrt[6]{7^2}-\sqrt[6]{6^2}$$
   $$=\sqrt[3]{3\cdot 25}-\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[3]{25}+\sqrt[3]{7}+\sqrt[3]{6}-\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{6}=0.$$

6. $$\sqrt[3]{x\sqrt[4]{x\sqrt{x}}}=\sqrt[3]{x\cdot \sqrt[4]{x\cdot x^{1/2}}}=\sqrt[3]{x\cdot \sqrt[4]{x^{3/2}}}$$

   $$=\sqrt[3]{x\cdot x^{3/8}}=\sqrt[3]{x^{11/8}}.$$

   При $$x=\sqrt[11]{125^8}$$ получаем:

   $$\sqrt[3]{x^{11/8}}=\sqrt[3]{\left(\sqrt[11]{125^8}\right)^{11/8}}=\sqrt[3]{125}=5.$$

7. Пусть $$x$$ км/ч — собственная скорость лодки, $$y$$ км/ч — скорость течения.

   Тогда:

   $$20(x+y)=60(x-y).$$

   $$20x+20y=60x-60y,$$
   $$80y=40x,$$
   $$x=2y.$$

   Значит, собственная скорость лодки в 2 раза больше скорости течения.

Ответ

1) а), б); 2) $$\frac{5\sqrt[3]{2}}{2},\ \frac{6-\sqrt[3]{36}+\sqrt[3]{6}}{7},\ \frac{\sqrt[3]{7}-1}{2}$$; 3) $$50,\ 1812$$; 4) $$a-b$$; 5) $$0$$; 6) $$5$$; 7) в 2 раза.