Самостоятельная работа 19 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

б) Чему равен (n > +?)lim(x_n)?
2. Пользуясь свойствами пределов, вычислите предел:
а) (n > +?)lim((7n+3)/(5n-12)); б) (n > +?)lim((2n^2+n-10)/(n^3+12n+20));
в) (n > +?)lim((6n+5)/(2n-3)+(4n-1)/(2n+3)); г) (n > +?)lim((-n^3+4n-10)/(5n^2+n+21));
д) (n > +?)lim(v(n^2+n)-v(n^2+11)); е) (n > +?)lim(1+1/(3n))^n.
3. а) Докажите, что переменная x_n=-11/(5n+12) является бесконечно малой, пользуясь определением бесконечно малой (на языке «?-N»).
б) Чему равен (n > +?)lim(x_n)?

1. а) Преобразуем дробь:

   $$ x_n=\frac{15n+2}{5n-1}=3+\frac{5}{5n-1}. $$

   Слагаемое $$\frac{5}{5n-1}$$ является бесконечно малой при $$n\to+\infty$$.

   б) Тогда

   $$ \lim_{n\to+\infty} x_n=3. $$

2. Вычислим пределы:

   а)

   $$ \lim_{n\to+\infty}\frac{7n+3}{5n-12} =\lim_{n\to+\infty}\frac{7+\frac{3}{n}}{5-\frac{12}{n}} =\frac{7}{5}. $$

   б)

   $$ \lim_{n\to+\infty}\frac{2n^2+n-10}{n^3+12n+20} =\lim_{n\to+\infty}\frac{\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}-\frac{10}{n^3}}{1+\frac{12}{n^2}+\frac{20}{n^3}} =0. $$

   в)

   $$ \lim_{n\to+\infty}\left(\frac{6n+5}{2n-3}+\frac{4n-1}{2n+3}\right) =\lim_{n\to+\infty}\left(\frac{6+\frac{5}{n}}{2-\frac{3}{n}}+\frac{4-\frac{1}{n}}{2+\frac{3}{n}}\right) =3+2=5. $$

   г)

   $$ \lim_{n\to+\infty}\frac{-n^3+4n-10}{5n^2+n+21} =\lim_{n\to+\infty}\frac{-1+\frac{4}{n^2}-\frac{10}{n^3}}{\frac{5}{n}+\frac{1}{n^2}+\frac{21}{n^3}} =-\infty. $$

   д)

   $$ \lim_{n\to+\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2+11}\right) =\lim_{n\to+\infty}\frac{(n^2+n)-(n^2+11)}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+11}} $$

   $$ =\lim_{n\to+\infty}\frac{n-11}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2+11}} =\lim_{n\to+\infty}\frac{1-\frac{11}{n}}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1+\frac{11}{n^2}}} =\frac12. $$

   е)

   $$ \lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{3n}\right)^n =\lim_{n\to+\infty}\left(1+\frac{1}{3n}\right)^{3n\cdot\frac13} =e^{1/3}. $$

3. а) Докажем, что $$x_n=-\frac{11}{5n+12}$$ — бесконечно малая последовательность.

   Пусть $$\varepsilon>0$$. Нужно найти $$N$$ такое, что при $$n>N$$ выполняется

   $$ \left|x_n\right|=\left|\frac{-11}{5n+12}\right|=\frac{11}{5n+12}<\varepsilon. $$

   Это равносильно неравенству

   $$ 5n+12>\frac{11}{\varepsilon}, $$

   то есть

   $$ n>\frac{11}{5\varepsilon}-\frac{12}{5}. $$

   Возьмём, например,

   $$ N=\frac{11}{5\varepsilon}-\frac{12}{5}. $$

   Тогда при всех $$n>N$$ будет $$|x_n|<\varepsilon$$, значит, $$x_n$$ — бесконечно малая последовательность.

   б)

   $$ \lim_{n\to+\infty}x_n=0. $$

Ответ

1) а) $$x_n=3+\frac{5}{5n-1}$$; б) $$3$$.

2) а) $$\frac75$$; б) $$0$$; в) $$5$$; г) $$-\infty$$; д) $$\frac12$$; е) $$e^{1/3}$$.

3) $$x_n=-\frac{11}{5n+12}$$ — бесконечно малая; $$\lim\limits_{n\to+\infty}x_n=0$$.