Самостоятельная работа 18 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Упростите, применив формулы сокращенного умножения:
а) (m^(1/4)+n^(1/2))^2-(m^(1/4)-n^(1/2))^2; б) (m^(1/4)-3n^(1/3))^2+(m^(1/4)+3n^(1/3))^2;
в) (3m^(1/4)-n^(1/2))(3m^(1/4)+n^(1/2)); г) (m^(1/2)+2n)(m-2m^(1/2) n+4n^2).
3. Вычислите ((3^(1/4)+27^(1/4))^2-12)((3^(1/4)-27^(1/4))^2+12).
4. Сократите дробь (x^(3/2)+y^(3/2))/(x-x^(1/2) y^(1/2)+y).
5. Упростите (m^(4/3)-27m^(1/3) n)/((m^2)^(1/3)+3(mn)^(1/3)+9(n^2)^(1/3)):(1-3(m/n)^(-1/3)).

1. Запишем степени в виде корней:

   $$3^{\frac12}=\sqrt{3},\qquad 5^{\frac14}=\sqrt[4]{5},\qquad 4^{\frac23}=\sqrt[3]{4^2}=\sqrt[3]{16}.$$

2. Упростим выражения, используя формулы сокращённого умножения:

   а)

   $$\left(m^{\frac14}+n^{\frac12}\right)^2-\left(m^{\frac14}-n^{\frac12}\right)^2=4m^{\frac14}n^{\frac12}.$$

   б)

   $$\left(m^{\frac14}-3n^{\frac13}\right)^2+\left(m^{\frac14}+3n^{\frac13}\right)^2=2m^{\frac12}+18n^{\frac23}.$$

   в)

   $$\left(3m^{\frac14}-n^{\frac12}\right)\left(3m^{\frac14}+n^{\frac12}\right)=9m^{\frac12}-n.$$

   г)

   $$\left(m^{\frac12}+2n\right)\left(m-2m^{\frac12}n+4n^2\right)=m^{\frac32}+8n^3.$$

3. Вычислим значение выражения:

   $$\left(\left(3^{\frac14}+27^{\frac14}\right)^2-12\right)\left(\left(3^{\frac14}-27^{\frac14}\right)^2+12\right).$$

   Так как $$27^{\frac14}=3^{\frac34},$$ то

   $$3^{\frac14}+27^{\frac14}=\sqrt[4]{3}+3\sqrt[4]{3}=4\sqrt[4]{3},$$

   $$3^{\frac14}-27^{\frac14}=\sqrt[4]{3}-3\sqrt[4]{3}=-2\sqrt[4]{3}.$$

   Тогда

   $$\left(4\sqrt[4]{3}\right)^2-12=16\sqrt{3}-12,$$

   $$\left(-2\sqrt[4]{3}\right)^2+12=4\sqrt{3}+12.$$

   Удобнее заметить, что

   $$\left(a^2-12\right)\left(b^2+12\right)=\left(4\sqrt{3}-6\right)\left(4\sqrt{3}+6\right),$$

   поэтому

   $$\left(4\sqrt{3}-6\right)\left(4\sqrt{3}+6\right)=\left(4\sqrt{3}\right)^2-6^2=48-36=12.$$

4. Сократим дробь:

   $$\frac{x^{\frac32}+y^{\frac32}}{x-\sqrt{xy}+y}.$$

   Представим числитель как сумму кубов:

   $$x^{\frac32}+y^{\frac32}=\left(\sqrt{x}\right)^3+\left(\sqrt{y}\right)^3=(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y).$$

   Тогда

   $$\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})(x-\sqrt{xy}+y)}{x-\sqrt{xy}+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}.$$

5. Упростим выражение:

   $$\frac{m^{\frac43}-27m^{\frac13}n}{\sqrt[3]{m^2}+3\sqrt[3]{mn}+9\sqrt[3]{n^2}}:\left(1-3\left(\frac{m}{n}\right)^{-\frac13}\right).$$

   Вынесем общий множитель в числителе первой дроби:

   $$m^{\frac43}-27m^{\frac13}n=m^{\frac13}(m-27n).$$

   Знаменатель первой дроби — сумма кубов:

   $$\sqrt[3]{m^2}+3\sqrt[3]{mn}+9\sqrt[3]{n^2}=\left(\sqrt[3]{m}\right)^2+\sqrt[3]{m}\sqrt[3]{n}+ \left(\sqrt[3]{n}\right)^2\cdot 9,$$

   поэтому удобнее записать его как

   $$\sqrt[3]{m^2}+3\sqrt[3]{mn}+9\sqrt[3]{n^2}=\left(\sqrt[3]{m}\right)^2+3\sqrt[3]{mn}+9\left(\sqrt[3]{n}\right)^2.$$

   Тогда

   $$\frac{m^{\frac43}-27m^{\frac13}n}{\sqrt[3]{m^2}+3\sqrt[3]{mn}+9\sqrt[3]{n^2}}=\frac{m^{\frac13}(m-27n)}{\sqrt[3]{m^2}+3\sqrt[3]{mn}+9\sqrt[3]{n^2}}.$$

   Кроме того,

   $$1-3\left(\frac{m}{n}\right)^{-\frac13}=1-3\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac13}=\frac{m^{\frac13}-3n^{\frac13}}{m^{\frac13}}.$$

   После сокращения получаем

   $$m^{\frac23}.$$

Ответ

1) $$\sqrt{3},\ \sqrt[4]{5},\ \sqrt[3]{16}$$

2) а) $$4m^{\frac14}n^{\frac12}$$; б) $$2m^{\frac12}+18n^{\frac23}$$; в) $$9m^{\frac12}-n$$; г) $$m^{\frac32}+8n^3$$

3) $$12$$

4) $$\sqrt{x}+\sqrt{y}$$

5) $$m^{\frac23}$$