Самостоятельная работа 17 Вариант 3 ГДЗ Дидактические материалы Никольский Потапов 10 класс (Алгебра)

2. Сравните числа 2003^(1/3)-2001^(1/4) и 2002^(1/3)-2004^(1/4).
3. Докажите, что функция y=(6x+1)^(1/4) возрастающая.
4. Решите уравнение (15x+3)^(1/3)+v(6+x)=(-3-x)^(1/3).

1. Сравним числа $$\sqrt[3]{11}$$ и $$\sqrt[4]{22}$$, возведя их в общую степень $$12$$:

   $$\left(\sqrt[3]{11}\right)^{12}=11^4=14641,$$
   $$\left(\sqrt[4]{22}\right)^{12}=22^3=10648.$$

   Так как $$14641>10648,$$ то

   $$\sqrt[3]{11}>\sqrt[4]{22}.$$

2. Сравним числа $$\sqrt[3]{2003}-\sqrt[4]{2001}$$ и $$\sqrt[3]{2002}-\sqrt[4]{2004}.$$

   Имеем:

   $$\sqrt[3]{2003}>\sqrt[3]{2002},$$
   $$\sqrt[4]{2001}<\sqrt[4]{2004}.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt[3]{2003}-\sqrt[4]{2001}>\sqrt[3]{2002}-\sqrt[4]{2004}.$$

3. Рассмотрим функцию $$y=\sqrt[4]{6x+1}.$$

   Если $$x_2>x_1,$$ то

   $$6x_2+1>6x_1+1.$$

   Так как функция $$\sqrt[4]{t}$$ возрастает при $$t\ge 0,$$ то

   $$\sqrt[4]{6x_2+1}>\sqrt[4]{6x_1+1}.$$

   Значит, $$y_2>y_1,$$ то есть функция $$y=\sqrt[4]{6x+1}$$ возрастает.

4. Решим уравнение

   $$\sqrt[3]{15x+3}+\sqrt{6+x}=\sqrt[3]{-3-x}.$$

   Область определения: $$6+x\ge 0,$$ то есть $$x\ge -6.$$

   Проверим значение $$x=-2$$:

   $$\sqrt[3]{15\cdot(-2)+3}+\sqrt{6+(-2)}=\sqrt[3]{-30+3}+\sqrt{4}=\sqrt[3]{-27}+2=-3+2=-1,$$

   $$\sqrt[3]{-3-(-2)}=\sqrt[3]{-1}=-1.$$

   Равенство выполняется.

   Так как левая часть — сумма возрастающих функций, а правая часть $$\sqrt[3]{-3-x}$$ убывает, то корень единственный.

Ответ

1) $$\sqrt[3]{11}>\sqrt[4]{22}$$;
2) $$\sqrt[3]{2003}-\sqrt[4]{2001}>\sqrt[3]{2002}-\sqrt[4]{2004}$$;
3) функция $$y=\sqrt[4]{6x+1}$$ возрастает;
4) $$x=-2$$.